Considere as retas r=(1+t, 3+3 t, 1-t), t in R e s=(2,2 t, 5 t), t in R. Verifique que r e s são reversas e determine o plano pi que contém r e é paralelo ao eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! Temos duas retas: e . Precisamos verificar se essas retas são reversas (ou seja, se não são paralelas e não se intersectam) e encontrar o plano que contém a reta e é paralelo ao eixo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, equações paramétricas de retas e equação de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que duas retas são reversas. Retas reversas não são paralelas e não se encontram em nenhum ponto; ou seja, elas estão em posições “cruzadas” no espaço, mas não se interceptam. Para verificar isso, precisamos analisar os vetores diretores das retas e ver se as retas têm algum ponto em comum.

Passo 3

Vamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta tem vetor diretor e a reta tem vetor diretor . Agora, verificamos se os vetores são paralelos multiplicando um vetor por um escalar para ver se obtemos o outro vetor. Aqui, não existe nenhum número tal que , então as retas não são paralelas.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se as retas 1 + t = 2 3 + 3t = 2t 1 - t = 5t e se intersectam. Para isso, igualamos as equações paramétricas das retas:
Resolvendo a primeira equação: .
Substituindo na segunda equação: , o que não é verdade.
Como não conseguimos encontrar um valor de que satisfaça todas as equações simultaneamente, as retas e não se intersectam.

Passo 5

Já que as retas e não são paralelas e não se interceptam, elas são reversas. Agora, vamos determinar o plano que contém a reta e é paralelo ao eixo .

Passo 6

Um plano paralelo ao eixo terá uma equação que não envolve a variável diretamente, ou seja, será da forma . Sabemos que o plano contém a reta , então todo ponto de deve satisfazer a equação do plano.

Passo 7

Vamos pegar dois pontos da reta A(3) + B(1) + C = 0 Rightarrow 3A + B + C = 0 (1) substituindo valores diferentes de A(6) + B(0) + C = 0 Rightarrow 6A + C = 0 (2) . Por exemplo, para , temos o ponto , e para , temos o ponto .
Substituindo na equação do plano :
Substituindo na mesma equação:

Passo 8

Agora, resolvemos o sistema de equações:
Da equação (2): 3A + B - 6A = 0 Rightarrow -3A + B = 0 Rightarrow B = 3A .
Substituindo na equação (1):

Passo 9

Escolhemos um valor para 1 cdot y + 3 cdot z - 6 = 0 Rightarrow y + 3z = 6 para simplificar. Vamos deixar , então e . Portanto, a equação do plano é:

Resposta

As retas y + 3z = 6 e são reversas. O plano que contém a reta e é paralelo ao eixo é dado por:

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