Considere as retas e . Verifique que e são reversas e determine o plano que contém e é paralelo ao eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! Temos duas retas: e . Precisamos verificar se essas retas são reversas (ou seja, se não são paralelas e não se intersectam) e encontrar o plano que contém a reta e é paralelo ao eixo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, equações paramétricas de retas e equação de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que duas retas são reversas. Retas reversas não são paralelas e não se encontram em nenhum ponto; ou seja, elas estão em posições “cruzadas” no espaço, mas não se interceptam. Para verificar isso, precisamos analisar os vetores diretores das retas e ver se as retas têm algum ponto em comum.
Passo 3
Vamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta tem vetor diretor e a reta tem vetor diretor . Agora, verificamos se os vetores são paralelos multiplicando um vetor por um escalar para ver se obtemos o outro vetor. Aqui, não existe nenhum número tal que , então as retas não são paralelas.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se as retas e se intersectam. Para isso, igualamos as equações paramétricas das retas:
Resolvendo a primeira equação: .
Substituindo na segunda equação: , o que não é verdade.
Como não conseguimos encontrar um valor de que satisfaça todas as equações simultaneamente, as retas e não se intersectam.
Passo 5
Já que as retas e não são paralelas e não se interceptam, elas são reversas. Agora, vamos determinar o plano que contém a reta e é paralelo ao eixo .
Passo 6
Um plano paralelo ao eixo terá uma equação que não envolve a variável diretamente, ou seja, será da forma . Sabemos que o plano contém a reta , então todo ponto de deve satisfazer a equação do plano.
Passo 7
Vamos pegar dois pontos da reta substituindo valores diferentes de . Por exemplo, para , temos o ponto , e para , temos o ponto .
Substituindo na equação do plano :
Substituindo na mesma equação:
Passo 8
Agora, resolvemos o sistema de equações:
Da equação (2): .
Substituindo na equação (1):
Passo 9
Escolhemos um valor para para simplificar. Vamos deixar , então e . Portanto, a equação do plano é:
Resposta
As retas e são reversas. O plano que contém a reta e é paralelo ao eixo é dado por: