Considere as retas paralelas
r:(x, y, z)=(0,1,2)+t(3,-1,2) e s:(x, y, z)=(1,0,-1)+s(3,-1,2)
(a) Determine a equação do plano pi que passa pelo ponto (1,0,-1) e é perpendicular à reta r ;

Passo 1

Beleza! A gente precisa achar a equação de um plano que passa pelo ponto (1,0,-1) e é perpendicular à reta r. Isso envolve conceitos de geometria no espaço tridimensional, como vetores diretores e equações de planos. Vamos precisar identificar o vetor que define a direção da reta e usar isso para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação da reta r:
r: (x, y, z) = (0,1,2) + t(3,-1,2)
Aqui, o vetor (3,-1,2) é o vetor diretor da reta r. Esse vetor mostra a direção em que a reta está “andando”.

Passo 3

Agora, como o plano pi é perpendicular à reta r, o vetor diretor da reta r será o vetor normal do plano. Ou seja, o vetor normal n do plano é (3,-1,2). O vetor normal é crucial porque define a orientação do plano no espaço.

Passo 4

A equação geral de um plano no espaço é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (a, b, c) é o vetor normal ao plano e (x0, y0, z0) é um ponto pelo qual o plano passa. No nosso caso, o vetor normal é (3,-1,2) e o ponto pelo qual o plano passa é (1,0,-1).

Passo 5

Vamos substituir esses valores na equação geral do plano:
3(x - 1) -1(y - 0) + 2(z - (-1)) = 0
Simplificando:
3(x - 1) - y + 2(z + 1) = 0

Passo 6

Agora, vamos expandir e simplificar a equação:
3x - 3 - y + 2z + 2 = 0
Juntando os termos semelhantes:
3x - y + 2z - 1 = 0
E isolando para deixar a equação na forma padrão:
3x - y + 2z = 1

Resposta

A equação do plano pi é 3x - y + 2z = 1.

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Sejam as matrizes A=[cccc1 & 0 & 2 & -1 0 & 1 & 0 & 2], B=[cc1 & 0 2 & 1 0 & -1 1 & 1] e In a matriz identidade de ordem n. Calcule, caso exista: I2-A B
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Dado o ponto P=(7,4,5) e a reta r:(x, y, z)=(-7,4,9)+t(-2,1,2).
(b) Calcule dist(P, r);
Sejam as matrizes A=[cccc1 & 0 & 2 & -1 0 & 1 & 0 & 2], B=[cc1 & 0 2 & 1 0 & -1 1 & 1] e In a matriz identidade de ordem n. Calcule, caso exista: (B^T A^T)^3