Dado o ponto P=(7,4,5) e a reta r:(x, y, z)=(-7,4,9)+t(-2,1,2).
(b) Calcule dist(P, r);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde temos o ponto e a reta . O que queremos é encontrar a distância entre o ponto e a reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço. Precisaremos trabalhar com vetores e produto vetorial para achar essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto na reta . Observando a equação paramétrica da reta, vemos que quando , o ponto é . Esse é o ponto de referência que vamos usar.

Passo 3

Agora, vamos definir o vetor que liga o ponto AP = P - A = (7 - (-7), 4 - 4, 5 - 9) = (14, 0, -4) ao ponto . Esse vetor é dado por:

Passo 4

Em seguida, identificamos o vetor diretor da reta dist(P, r) = |AP times u||u| , que é . A distância entre o ponto e a reta pode ser calculada usando a fórmula que envolve o produto vetorial entre e :
Aqui, representa o produto vetorial e a magnitude do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial AP times u = i & j & k 14 & 0 & -4 -2 & 1 & 2 = i(0 cdot 2 - (-4) cdot 1) - j(14 cdot 2 - (-4) cdot (-2)) + k(14 cdot 1 - 0 cdot (-2)) :
= i(0 + 4) - j(28 - 8) + k(14 - 0)
= 4i - 20j + 14k
|AP times u| = raiz4^2 + (-20)^2 + 14^2 = raiz16 + 400 + 196 = raiz612 = 6raiz17
A magnitude desse vetor é:

Passo 6

Agora, calculamos a magnitude do vetor diretor |u| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3 :

Resposta

A distância entre o ponto dist(P, r) = 6raiz173 = 2raiz17 e a reta é:

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