Sejam as matrizes e In a matriz identidade de ordem n. Calcule, caso exista: (B^T A^T)^3
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular , certo? Esse exercício envolve matrizes, transposição e multiplicação de matrizes, que são tópicos de Álgebra Linear. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como transpor uma matriz, multiplicar matrizes e como elevar uma matriz ao cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos transpor as matrizes A = 1 & 0 & 2 & -1 0 & 1 & 0 & 2 e A^T = 1 & 0 0 & 1 2 & 0 -1 & 2 . A transposição de uma matriz troca suas linhas por colunas. Então, se B = 1 & 0 2 & 1 0 & -1 1 & 1 é uma matriz B^T = 1 & 2 & 0 & 1 0 & 1 & -1 & 1 , sua transposta será uma matriz . O mesmo vale para , que originalmente é , então será .
Matriz :
Transposta :
Matriz :
Transposta :
Passo 3
Agora, vamos multiplicar (1 times 1) + (2 times 0) + (0 times 2) + (1 times -1) = 1 + 0 + 0 - 1 = 0 por (1 times 0) + (2 times 1) + (0 times 0) + (1 times 2) = 0 + 2 + 0 + 2 = 4 . Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Aqui, (0 times 1) + (1 times 0) + (-1 times 2) + (1 times -1) = 0 + 0 - 2 - 1 = -3 é (0 times 0) + (1 times 1) + (-1 times 0) + (1 times 2) = 0 + 1 + 0 + 2 = 3 e B^T A^T = 0 & 4 -3 & 3 é , então a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz .
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
Elemento (1,1):
Elemento (1,2):
Elemento (2,1):
Elemento (2,2):
Então, a matriz é:
Passo 4
Agora que temos (B^T A^T)^2 = 0 & 4 -3 & 3 times 0 & 4 -3 & 3 , vamos calcular (0 times 0) + (4 times -3) = 0 - 12 = -12 , ou seja, vamos multiplicar a matriz (0 times 4) + (4 times 3) = 0 + 12 = 12 por ela mesma mais duas vezes.
Primeiro, calculamos (-3 times 0) + (3 times -3) = 0 - 9 = -9 :
(-3 times 4) + (3 times 3) = -12 + 9 = -3
Elemento (1,1):
(B^T A^T)^2 = -12 & 12 -9 & -3
Elemento (1,2):
(B^T A^T)^3 = -12 & 12 -9 & -3 times 0 & 4 -3 & 3
Elemento (2,1):
(-12 times 0) + (12 times -3) = 0 - 36 = -36
Elemento (2,2):
(-12 times 4) + (12 times 3) = -48 + 36 = -12
Então:
(-9 times 0) + (-3 times -3) = 0 + 9 = 9
Agora, multiplicamos esse resultado por (-9 times 4) + (-3 times 3) = -36 - 9 = -45 novamente para obter o cubo: