Mostre que D: P(R) P(R), onde D é a função que deriva um polinômio, isto é, D(p(x))=D(a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3+cdots+an x^n)=a1+2 a2 x+3 a3 x^2+cdots+n an x^n-1, é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função D, que pega um polinômio e retorna sua derivada, é uma transformação linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que uma transformação linear deve obedecer duas propriedades: adição e escalamento. Ou seja, precisamos verificar se D(p + q) = D(p) + D(q) e D(c cdot p) = c cdot D(p) para quaisquer polinômios p, q e qualquer constante c.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Pegue dois polinômios quaisquer p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + cdots + anx^n e q(x) = b0 + b1x + b2x^2 + cdots + bmx^m. A soma deles é:
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x^2 + cdots
Agora, aplicando D nessa soma:
D(p(x) + q(x)) = (a1 + b1) + 2(a2 + b2)x + 3(a3 + b3)x^2 + cdots
Por outro lado, aplicando D separadamente e depois somando:
D(p(x)) + D(q(x)) = (a1 + 2a2x + 3a3x^2 + cdots) + (b1 + 2b2x + 3b3x^2 + cdots)
Que resulta em:
(a1 + b1) + 2(a2 + b2)x + 3(a3 + b3)x^2 + cdots
Vimos que D(p(x) + q(x)) = D(p(x)) + D(q(x)), então a propriedade da adição está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade do escalamento. Pegue um polinômio p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + cdots + anx^n e uma constante c. Ao multiplicar o polinômio por c, temos:
c cdot p(x) = c a0 + c a1x + c a2x^2 + cdots + c anx^n
Aplicando D nesse polinômio escalado:
D(c cdot p(x)) = c a1 + 2c a2x + 3c a3x^2 + cdots + n c anx^n-1
Por outro lado, escalando a derivada de p(x):
c cdot D(p(x)) = c(a1 + 2a2x + 3a3x^2 + cdots + n anx^n-1)
Que dá:
c a1 + 2c a2x + 3c a3x^2 + cdots + n c anx^n-1
Percebemos que D(c cdot p(x)) = c cdot D(p(x)), então a propriedade do escalamento também está satisfeita.

Resposta

Como mostramos que a função D satisfaz tanto a adição quanto o escalamento, podemos concluir que D é uma transformação linear.

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