Mostre que
, onde
é a função que deriva um polinômio, isto é,
, é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função
, que pega um polinômio e retorna sua derivada, é uma transformação linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que uma transformação linear deve obedecer duas propriedades: adição e escalamento. Ou seja, precisamos verificar se
e
para quaisquer polinômios
e qualquer constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Pegue dois polinômios quaisquer
e
. A soma deles é:
Agora, aplicando
nessa soma:
Por outro lado, aplicando
separadamente e depois somando:
Que resulta em:
Vimos que
, então a propriedade da adição está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a propriedade do escalamento. Pegue um polinômio
e uma constante
. Ao multiplicar o polinômio por
, temos:
Aplicando
nesse polinômio escalado:
Por outro lado, escalando a derivada de
:
Que dá:
Percebemos que
, então a propriedade do escalamento também está satisfeita.
Resposta
Como mostramos que a função
satisfaz tanto a adição quanto o escalamento, podemos concluir que
é uma transformação linear.