a) Prove que e são reversas;
b) Determine a equação cartesiana do plano paralelo a que contém ;
c) Determine uma equação paramétrica da reta perpendicular comum a e .
Passo 1
Então, a gente tem duas retas no espaço tridimensional dadas pelas equações paramétricas:
A questão tem três partes:
a) Provar que e são retas reversas;
b) Encontrar a equação do plano paralelo a que contém ;
c) Determinar uma reta perpendicular comum a e .
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Parte a) Provar que e são retas reversas
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa retas reversas. Duas retas são reversas se elas não são paralelas e não se intersectam. Isso implica que elas estão em planos diferentes e não têm nenhum ponto em comum.
Passo 3
Vamos encontrar os vetores diretores das retas e . Para isso, observamos os coeficientes que acompanham o parâmetro nas equações paramétricas:
Para : vetor diretor
Para : vetor diretor
Passo 4
Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores diretores são m��ltiplos um do outro. Vamos analisar se existe um número tal que :
Isso nos dá:
Como obtemos valores diferentes para , as retas não são paralelas.
Passo 5
Agora, vamos verificar se as retas se intersectam. Para isso, igualamos as equações paramétricas e tentamos encontrar um valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Da equação : .
Substituindo na equação : (verdadeiro).
Mas na equação : (falso). Isso significa que não existe nenhum ponto que satisfaz todas as equações, ou seja, as retas não se intersectam.
Resposta
As retas e são reversas porque não são paralelas e não têm pontos em comum.