Considere as retas:
r:c x=1+t y=1-t z=0 e s:c x=1-t y=1-t z=1
a) Prove que r e s são reversas;
b) Determine a equação cartesiana do plano paralelo a r que contém s;
c) Determine uma equação paramétrica da reta perpendicular comum a r e s.

Passo 1

Então, a gente tem duas retas no espaço tridimensional dadas pelas equações paramétricas:
r:c x=1+t y=1-t z=0 e s:c x=1-t y=1-t z=1
A questão tem três partes:
a) Provar que r e s são retas reversas;
b) Encontrar a equação do plano paralelo a r que contém s;
c) Determinar uma reta perpendicular comum a r e s.
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Parte a) Provar que r e s são retas reversas

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa retas reversas. Duas retas são reversas se elas não são paralelas e não se intersectam. Isso implica que elas estão em planos diferentes e não têm nenhum ponto em comum.

Passo 3

Vamos encontrar os vetores diretores das retas r e s. Para isso, observamos os coeficientes que acompanham o parâmetro t nas equações paramétricas:
  • Para r: vetor diretor vr = (1, -1, 0)
  • Para s: vetor diretor vs = (-1, -1, 0)

Passo 4

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores diretores são m��ltiplos um do outro. Vamos analisar se existe um número k tal que vs = k cdot vr:
(-1, -1, 0) = k cdot (1, -1, 0)
Isso nos dá:
-1 = k cdot 1 Rightarrow k = -1 -1 = k cdot (-1) Rightarrow -1 = -k Rightarrow k = 1
Como obtemos valores diferentes para k, as retas não são paralelas.

Passo 5

Agora, vamos verificar se as retas se intersectam. Para isso, igualamos as equações paramétricas e tentamos encontrar um valor de t que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
1 + t = 1 - t (x) 1 - t = 1 - t (y) 0 = 1 (z)
Da equação x: 1 + t = 1 - t Rightarrow 2t = 0 Rightarrow t = 0.
Substituindo t = 0 na equação y: 1 - 0 = 1 - 0 (verdadeiro).
Mas na equação z: 0 = 1 (falso). Isso significa que não existe nenhum ponto que satisfaz todas as equações, ou seja, as retas não se intersectam.

Resposta

As retas r e s são reversas porque não são paralelas e não têm pontos em comum.

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