Determine o valor de
para que os planos
e
sejam paralelos distintos.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem dois planos:
- Plano 1:
- Plano 2:
A pergunta é: Qual o valor de
para que esses planos sejam paralelos e distintos?
Pra resolver isso, vamos precisar entender vetores normais dos planos e como eles se relacionam para determinar se os planos são paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano da forma
é
.
-
Vetor normal do Plano 1 (
): -
Vetor normal do Plano 2 (
):
Passo 3
Para que os planos sejam paralelos, os vetores normais
e
devem ser proporcionais. Isso significa que existe um número
tal que:
Isso dá as seguintes equações:
Passo 4
Vamos resolver essas equações para encontrar
lambda = k - 1 .
-
Da primeira equação:
2 = lambda k Rightarrow 2 = (k - 1)k Rightarrow k^2 - k - 2 = 0 -
Da segunda equação:
k = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 Resolvendo a equação quadrática:-4k = lambda (-2) Rightarrow -4k = -2(k - 1) Rightarrow -4k = -2k + 2 Então, ou-2k = 2 Rightarrow k = -1 . -
Vamos verificar qual desses valores satisfaz a terceira equação:Simplificando:Portanto,
é o valor que satisfaz todas as equações.
Resposta
O valor de
que torna os planos paralelos e distintos é
.