Determine o valor de k para que os planos x+k y-2 z=6 e (k-1)+2 y-4 k z=4 sejam paralelos distintos.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem dois planos:
  • Plano 1:
  • Plano 2:
A pergunta é: Qual o valor de para que esses planos sejam paralelos e distintos?
Pra resolver isso, vamos precisar entender vetores normais dos planos e como eles se relacionam para determinar se os planos são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano da forma n1 = (1, , k, , -2) é n2 = (k-1, , 2, , -4k) .
  • Vetor normal do Plano 1 ( ):
  • Vetor normal do Plano 2 ( ):

Passo 3

Para que os planos sejam paralelos, os vetores normais n2 = lambda n1 e k - 1 = lambda cdot 1 2 = lambda cdot k -4k = lambda cdot (-2) devem ser proporcionais. Isso significa que existe um número tal que:
Isso dá as seguintes equações:

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar lambda = k - 1 .
  1. Da primeira equação:
    2 = lambda k Rightarrow 2 = (k - 1)k Rightarrow k^2 - k - 2 = 0
  2. Da segunda equação:
    k = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
    Resolvendo a equação quadrática:
    -4k = lambda (-2) Rightarrow -4k = -2(k - 1) Rightarrow -4k = -2k + 2
    Então, -2k = 2 Rightarrow k = -1 ou .
  3. Vamos verificar qual desses valores satisfaz a terceira equação:
    Simplificando:
    Portanto, é o valor que satisfaz todas as equações.

Resposta

O valor de que torna os planos paralelos e distintos é .

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