Mostre que: e é uma base de .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que os vetores , , e formam uma base de . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Uma base de um espaço vetorial, como , é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que, juntos, conseguem gerar qualquer vetor nesse espaço. Então, precisamos verificar se nossos vetores cumprem essas duas condições.

Passo 3

Para verificar a independência linear, colocamos os vetores como colunas de uma matriz e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz:

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Podemos usar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos expandir pelo primeiro elemento para facilitar:

Passo 5

Calculando o determinante da matriz 3x3:
Então,

Passo 6

Como o determinante de é 2, que é diferente de zero, concluímos que os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos 4 vetores em , eles também geram todo o espaço. Portanto, eles formam uma base de .

Resposta

Os vetores , , e formam uma base de porque são linearmente independentes e geram todo o espaço.

Exercícios relacionados

Sabendo que e , calcular:
b)
Considere as retas:
a) Prove que e são reversas;
b) Determine a equação cartesiana do plano paralelo a que contém ;
c) Determine uma equação paramétrica da reta perpendicular comum a e .
Sabendo que e que formam ângulo de , determinar:
a)
Dada a equação cartesiana do plano , determinar um sistema de equações paramétricas de .