Mostre que: (1,1,1,1),(0,1,-1,0),(0,0,2,2) e (0,0,0,1) é uma base de R^4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que os vetores (1,1,1,1), (0,1,-1,0), (0,0,2,2) e (0,0,0,1) formam uma base de R^4. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço R^4.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Uma base de um espaço vetorial, como R^4, é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que, juntos, conseguem gerar qualquer vetor nesse espaço. Então, precisamos verificar se nossos vetores cumprem essas duas condições.

Passo 3

Para verificar a independência linear, colocamos os vetores como colunas de uma matriz e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz:
A = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 2 & 0 1 & 0 & 2 & 1

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Podemos usar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos expandir pelo primeiro elemento para facilitar:
det(A) = 1 cdot 1 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 0 & 2 & 1

Passo 5

Calculando o determinante da matriz 3x3:
1 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 0 & 2 & 1 = 1 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 2) - 0 cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 0 cdot (-1 cdot 2 - 2 cdot 0) = 2
Então, det(A) = 1 cdot 2 = 2

Passo 6

Como o determinante de A é 2, que é diferente de zero, concluímos que os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos 4 vetores em R^4, eles também geram todo o espaço. Portanto, eles formam uma base de R^4.

Resposta

Os vetores (1,1,1,1), (0,1,-1,0), (0,0,2,2) e (0,0,0,1) formam uma base de R^4 porque são linearmente independentes e geram todo o espaço.

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