O enunciado pede para mostrarmos que os vetores , , e formam uma base de . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Uma base de um espaço vetorial, como , é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que, juntos, conseguem gerar qualquer vetor nesse espaço. Então, precisamos verificar se nossos vetores cumprem essas duas condições.
Passo 3
Para verificar a independência linear, colocamos os vetores como colunas de uma matriz e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Podemos usar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos expandir pelo primeiro elemento para facilitar:
Passo 5
Calculando o determinante da matriz 3x3:
Então,
Passo 6
Como o determinante de é 2, que é diferente de zero, concluímos que os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos 4 vetores em , eles também geram todo o espaço. Portanto, eles formam uma base de .
Resposta
Os vetores , , e formam uma base de porque são linearmente independentes e geram todo o espaço.