Considere as retas r: k x-(k+2) y=2 e s: k y-x=3 k. Determine k de modo que r e s sejam:
coincidentes

Passo 1

Beleza, temos duas retas dadas pelas equações e . A gente precisa encontrar o valor de que faz com que essas duas retas sejam coincidentes, ou seja, que elas sejam exatamente a mesma reta. Para resolver isso, vamos precisar usar noções de geometria analítica, especificamente sobre as condições para duas retas serem coincidentes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações das retas de uma forma padrão para facilitar a comparação. A equação geral de uma reta é kx - (k + 2)y = 2 .
Para a reta kx - (k + 2)y - 2 = 0 :
ky - x = 3k
Podemos reescrever como:
-x + ky - 3k = 0
Para a reta :
Podemos reescrever como:

Passo 3

Duas retas são coincidentes se e somente se os coeficientes correspondentes das variáveis Ar = lambda As , Br = lambda Bs e o termo constante forem proporcionais. Ou seja, existe um número Cr = lambda Cs tal que:
Onde , e são os coeficientes das retas e .

Passo 4

Vamos identificar os coeficientes das duas retas:
Para Ar = k :
Br = -(k + 2)
Cr = -2
As = -1
Para Bs = k :
Cs = -3k
k = lambda (-1) (1)
-(k + 2) = lambda k (2)
Agora, aplicando a condição de proporcionalidade:
-2 = lambda (-3k) (3)
lambda = -k1 = -k
-(k + 2) = (-k) cdot k
Vamos resolver essas equações para encontrar -k - 2 = -k^2 e k^2 - k - 2 = 0 .
Da equação (1):
k = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Substituindo lambda = -2 na equação (2):
-2 = (-2)(-6)
-2 = 12
lambda = 1
Resolvendo a equação quadrática:
-2 = (1)(3)
Portanto, -2 = 3 ou .
Agora, vamos verificar qual desses valores satisfaz a equação (3).
Para :
→ Não satisfaz.
Para :
→ Não satisfaz.
Isso indica que não existe um valor real de que torna as retas e coincidentes.

Resposta

Não existe valor real de que faça as retas e serem coincidentes.

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