Responda verdadeiro ou falso para cada afirmativa abaixo. Justifique.
(a) (-A)^t=-(A^t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma afirmação pra avaliar se é verdadeira ou falsa. A questão é sobre transposição de matrizes, um tópico de Álgebra Linear. Precisamos verificar se, ao transpor a matriz -A, o resultado é igual a -A^t. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das operações com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa transpor uma matriz. A transposta de uma matriz A, denotada por A^t, é obtida trocando suas linhas por colunas. Por exemplo, se A é uma matriz 2x3, A^t será 3x2.

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade: (-A)^t. Isso significa que primeiro multiplicamos a matriz A por -1, obtendo cada elemento de A invertido de sinal, e depois transponemos essa nova matriz.

Passo 4

Do outro lado, temos -(A^t). Aqui, primeiro transponhamos a matriz A, e depois multiplicamos cada elemento da matriz transposta por -1.

Passo 5

Vamos ver se essas duas operações resultam na mesma coisa. Seja A = a & b c & d . Então:
-A = -a & -b -c & -d
(-A)^t = -a & -c -b & -d
Por outro lado:
A^t = a & c b & d
-(A^t) = -a & -c -b & -d

Passo 6

Observamos que (-A)^t é igual a -(A^t), pois ambos resultam na matriz com os elementos de A transpostos e com sinais invertidos.

Resposta

Verdadeiro. Ao transpor a matriz -A, obtemos -A^t, confirmando que (-A)^t = -(A^t).

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