Seja o plano pi que passa pelo ponto A(2,2,-1) e é paralelo aos vetores
u=(2,-3,1) e v=(-1,5,-3). Obter uma equação vetorial, um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um plano, chamado pi, que passa pelo ponto A(2,2,-1) e é paralelo aos vetores u=(2,-3,1) e v=(-1,5,-3). Nosso objetivo é encontrar três coisas sobre esse plano: uma equação vetorial, um sistema de equações paramétricas e uma equação geral. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como vetores paralelos, normal ao plano e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, para achar a equação vetorial do plano, precisamos de um ponto que ele passa e de dois vetores que estão no plano. Já temos o ponto A e os vetores u e v. A equação vetorial fica na forma:
r = A + su + tv
Onde r é qualquer ponto do plano, s e t são parâmetros.

Passo 3

Agora, vamos para as equações paramétricas. A partir da equação vetorial, podemos separar as componentes x, y e z. Sabemos que A = (2,2,-1), u = (2,-3,1) e v = (-1,5,-3). Então, temos:
x = 2 + 2s - t
y = 2 - 3s + 5t
z = -1 + s - 3t
Essas são as equações paramétricas do plano.

Passo 4

Por último, vamos encontrar a equação geral do plano. Para isso, precisamos de um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores u e v. Podemos encontrar esse vetor usando o produto vetorial:
n = u times v
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k 2 & -3 & 1 -1 & 5 & -3 = i((-3)(-3) - (1)(5)) - j((2)(-3) - (1)(-1)) + k((2)(5) - (-3)(-1))
n = i(9 - 5) - j(-6 +1) + k(10 -3)
n = 4i + 5j + 7k
Então, o vetor normal é n = (4,5,7).
A equação geral do plano é dada por:
4(x - 2) + 5(y - 2) + 7(z + 1) = 0
Simplificando:
4x + 5y + 7z - 8 -10 +7 = 0
4x + 5y + 7z -11 = 0

Resposta

A equação vetorial do plano é:
r = (2,2,-1) + s(2,-3,1) + t(-1,5,-3)
As equações paramétricas são:
x = 2 + 2s - t
y = 2 - 3s + 5t
z = -1 + s - 3t
E a equação geral do plano é:
4x + 5y + 7z -11 = 0

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