Considere as retas r: k x-(k+2) y=2 e s: k y-x=3 k. Determine k de modo que r e s sejam:
concorrentes

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas retas dadas pelas equações e . O que a gente precisa descobrir é o valor de que faz essas retas serem concorrentes, ou seja, que elas se cruzem em exatamente um ponto. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e teoria de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar as equações das retas para a forma padrão kx - (k + 2)y = 2 :
  • Para a reta -x + ky = 3k , já está na forma:
  • Para a reta , vamos rearranjar:

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes dessas equações para usar o determinante, que nos ajuda a saber se o sistema tem uma única solução. A matriz fica assim:
k & -(k + 2) -1 & k
O determinante De dessa matriz é calculado por:
k^2 - k - 2 neq 0
Para que as retas sejam concorrentes, o determinante precisa ser diferente de zero:

Passo 4

Vamos resolver a inequação k^2 - k - 2 = (k - 2)(k + 1) . Para isso, fatoramos a expressão quadrática:
(k - 2)(k + 1) neq 0
Então, a inequação fica:
Isso significa que não pode ser nem nem .

Resposta

Os valores de que fazem as retas e serem concorrentes são todos os números reais, exceto e .

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