Dada a função f: R longrightarrow R, tal que f(x)=3 x-4, determine as constantes a e b, sabendo-se que f(a)=2 b e f(b)=9 a-28.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função linear definida por . Precisamos encontrar os valores das constantes e que satisfazem as seguintes condições:
Para resolver isso, vamos usar álgebra básica, especificamente resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(a) = 3a - 4 usando a definição da função:
f(a) = 2b
De acordo com a primeira condição, sabemos que:
3a - 4 = 2b
Então, temos:
Essa será a nossa primeira equação.

Passo 3

Agora, vamos calcular f(b) = 3b - 4 também usando a definição da função:
f(b) = 9a - 28
De acordo com a segunda condição, temos:
3b - 4 = 9a - 28
Portanto:
Essa é a nossa segunda equação.

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
3a - 4 = 2b 3b - 4 = 9a - 28
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a primeira equação para 3a - 4 = 2b :
2b = 3a - 4
Isolando b = 3a - 42 :
Agora, temos em termos de .

Passo 6

Vamos substituir essa expressão de 3b - 4 = 9a - 28 na segunda equação:
3(3a - 42) - 4 = 9a - 28
Substituindo :
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 7

Multiplicando o 3 dentro do parêntese:
9a - 122 - 4 = 9a - 28
Para facilitar, vamos eliminar o denominador multiplicando todos os termos por 2:
9a - 12 - 8 = 18a - 56
Simplificando os termos:
9a - 20 = 18a - 56

Passo 8

Agora, vamos resolver para -20 = 9a - 56 :
Subtraia 36 = 9a de ambos os lados:
a = 4
Adicione 56 em ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 9:

Passo 9

Agora que encontramos b = 3a - 42 , vamos usar a expressão que encontramos para b = 3(4) - 42 = 12 - 42 = 82 = 4 :
Substituindo :

Passo 10

Então, encontramos que e .

Resposta

As constantes são e .

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