Considere as retas
& r: & s: (x, y, z)=(1,0,1)+t(-1,-2,0), t in R & s:(x, y, z)=(-1,0,1)+t(1,-1,0), t in R
(a) Qual a posição relativa entre as retas r e s (paralelas coincidentes, paralelas distintas, concorrentes ou reversas)?
(b) Determine o ângulo entre as retas r e s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas retas no espaço, que chamaremos de e . A questão está dividida em duas partes:
a) Queremos saber como essas retas estão posicionadas uma em relação à outra. Elas são paralelas coincidentes (ou seja, são a mesma reta), paralelas distintas, concorrentes (se cruzam em um ponto) ou reversas (não se cruzam e não são paralelas).
b) Precisamos encontrar o ângulo entre essas duas retas.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria no espaço, como vetores diretores das retas, condições de paralelismo, coincidir ou serem concorrentes, e como calcular o ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das retas & r: (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(-1, -2, 0), t in R & s: (x, y, z) = (-1, 0, 1) + t(1, -1, 0), t in R e . No enunciado, temos:
Aqui, o vetor que multiplica o parâmetro é o vetor diretor de cada reta. Para , o vetor diretor é , e para , é .

Passo 3

Agora, vamos analisar a posição relativa das retas dr = (-1, -2, 0) e ds = (1, -1, 0) e (-1, -2, 0) = k(1, -1, 0) implies -1 = k cdot 1 -2 = k cdot (-1) 0 = k cdot 0 .
Primeiro, verificamos se as retas são paralelas. Para isso, precisamos ver se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Se existir um número -2 = (-1) cdot (-1) = 1 (não é igual a -2) tal que , então as retas são paralelas.
Vamos comparar os vetores:
Procuramos um tal que:
Da primeira equação, . Verificando na segunda equação:
ãé
Como não existe um único que satisfaça todas as equações, os vetores não são múltiplos, ou seja, as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, elas podem ser concorrentes ou reversas. Para verificar isso, precisamos ver se elas se intersectam em algum ponto.
Vamos igualar as equações paramétricas das retas 1 - t = -1 + t' 0 - 2t = 0 - t' 1 + 0t = 1 + 0t' e 2t = 2 - t implies 3t = 2 implies t = 23 :
t' = 2 cdot 23 = 43
Simplificando as equações:
  1. t = 23, t' = 43
  2. (sempre verdadeira)
Agora substituímos da segunda equação na primeira:
Substituindo na expressão para :
Vamos verificar se essas soluções satisfazem a terceira equação (que sempre é verdadeira, então está tudo certo). Portanto, as retas se intersectam quando:
Isso significa que as retas e são concorrentes, ou seja, se cruzam em um ponto.

Passo 5

Agora que sabemos que as retas são concorrentes, vamos calcular o ângulo entre elas.
O ângulo cos theta = dr cdot ds|dr| cdot |ds| entre duas retas no espaço pode ser encontrado usando os vetores diretores das retas. A fórmula é:
dr cdot ds = (-1)(1) + (-2)(-1) + (0)(0) = -1 + 2 + 0 = 1
Onde:
  • |dr| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz1 + 4 + 0 = raiz5 é o produto escalar dos vetores diretores.
  • |ds| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 e cos theta = 1raiz5 cdot raiz2 = 1raiz10 são as normas (ou módulos) dos vetores diretores.
Primeiro, calculamos o produto escalar:
theta = arccos(1raiz10) approx 71,57^circ
Agora, calculamos as normas dos vetores:
Substituindo na fórmula do cosseno:
Para encontrar o ângulo , aplicamos a função arco cosseno:

Resposta

a) As retas e são concorrentes, ou seja, se cruzam em um ponto.
b) O ângulo entre as retas e é aproximadamente .

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