Determine a posição relativa entre as retas a seguir:
(a) r:(x, y, z)=(2-t, t, 2+t) e s:(x, y, z)=(2+l,-l,-l+2).
(b) r:(x, y, z)=(2+t, t, t) e s:(x, y, z)=(2+l,-l, 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar a posição relativa entre duas retas no espaço. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar das equações paramétricas das retas e entender como verificar se elas são paralelas, se intersectam ou se são retas paralelas e não se encontram (chamadas de retas “skew”).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte (a) do exercício. As retas são dadas por:
  • Reta
  • Reta

Passo 3

Para descobrir a posição relativa, vamos verificar dois pontos:
  1. As retas são paralelas?
  2. As retas se interceptam em algum ponto?
Primeiro, identificamos os vetores diretores das retas. Na reta , o vetor diretor é dado pelos coeficientes de : . Na reta , o vetor diretor é .

Passo 4

Agora, verificamos se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Se forem, as retas são paralelas. Aqui, vemos que . Como os vetores são múltiplos, as retas são paralelas.

Passo 5

Mesmo sendo paralelas, precisamos confirmar se elas coincidem ou não. Para isso, mostramos que não existe um valor de e que satisfaça as equações simultaneamente, o que indica que as retas são paralelas mas distintas.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. As retas são:
  • Reta
  • Reta

Passo 7

Primeiro, identificamos os vetores diretores:
  • Para a reta :
  • Para a reta :

Passo 8

Verificamos se os vetores diretores são múltiplos. Aqui, não são, então as retas não são paralelas. Agora, vamos ver se elas se interceptam.

Passo 9

Igualamos as componentes das equações para encontrar valores de 2 + t = 2 + l t = -l t = 2 e que satisfaçam:
Da primeira equação, . Da segunda, . Portanto, , o que implica e . Mas substituindo na terceira equação, temos , o que não faz sentido. Assim, não há ponto de interseção.

Resposta

(a) As retas e são paralelas e não se interceptam.
(b) As retas e não são paralelas e não se interceptam; elas são retas “skew”.

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