Determine a posição relativa entre as retas a seguir:
(a) e .
(b) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar a posição relativa entre duas retas no espaço. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar das equações paramétricas das retas e entender como verificar se elas são paralelas, se intersectam ou se são retas paralelas e não se encontram (chamadas de retas “skew”).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte (a) do exercício. As retas são dadas por:
Reta
Reta
Passo 3
Para descobrir a posição relativa, vamos verificar dois pontos:
As retas são paralelas?
As retas se interceptam em algum ponto?
Primeiro, identificamos os vetores diretores das retas. Na reta , o vetor diretor é dado pelos coeficientes de : . Na reta , o vetor diretor é .
Passo 4
Agora, verificamos se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Se forem, as retas são paralelas. Aqui, vemos que . Como os vetores são múltiplos, as retas são paralelas.
Passo 5
Mesmo sendo paralelas, precisamos confirmar se elas coincidem ou não. Para isso, mostramos que não existe um valor de e que satisfaça as equações simultaneamente, o que indica que as retas são paralelas mas distintas.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) do exercício. As retas são:
Reta
Reta
Passo 7
Primeiro, identificamos os vetores diretores:
Para a reta :
Para a reta :
Passo 8
Verificamos se os vetores diretores são múltiplos. Aqui, não são, então as retas não são paralelas. Agora, vamos ver se elas se interceptam.
Passo 9
Igualamos as componentes das equações para encontrar valores de e que satisfaçam:
Da primeira equação, . Da segunda, . Portanto, , o que implica e . Mas substituindo na terceira equação, temos , o que não faz sentido. Assim, não há ponto de interseção.
Resposta
(a) As retas e são paralelas e não se interceptam.
(b) As retas e não são paralelas e não se interceptam; elas são retas “skew”.