Considere as retas
(a) Qual a posição relativa entre as retas
e s (paralelas coincidentes, paralelas distintas, concorrentes ou reversas)?
(b)
ponto
está mais próximo de
ou de
?
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço,
e
, definidas por equações paramétricas. Nosso objetivo é, na parte (a), descobrir como essas retas se posicionam uma em relação à outra: se são paralelas coincidentes, paralelas distintas, se se cruzam (concorrentes) ou se são reversas (não se cruzam e não são paralelas). Para isso, vamos precisar entender os vetores diretores das retas e verificar se são paralelos ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta
é dada por:
Aqui, o vetor diretor de
é
.
A reta
é:
E o vetor diretor de
é
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os vetores diretores são múltiplos um do outro, ou seja, se são paralelos. Para isso, verificamos se existe um número
tal que:
Vamos comparar as componentes:
Já percebemos que
não é o mesmo nas duas equações, então os vetores diretores não são múltiplos. Portanto, as retas
e
não são paralelas.
Passo 4
Como as retas não são paralelas, elas podem ser concorrentes (se se cruzarem em um ponto) ou reversas (se não se cruzarem). Para descobrir, vamos tentar resolver o sistema de equações que iguala os pontos das duas retas.
Igualamos as componentes:
Da terceira equação, temos
. Substituindo na primeira, temos:
Isso é verdadeiro para qualquer
, mas na segunda equação substituindo
:
Então, existe um valor de
que satisfaz todas as equações, especificamente
. Isso significa que as retas se cruzam no ponto correspondente a
.
Passo 5
Para confirmar, vamos encontrar as coordenadas desse ponto de interseção substituindo
na equação de
:
E na reta
:
Os pontos coincidem, confirmando que as retas se cruzam nesse ponto.
Resposta
(a) As retas
e
são concorrentes, ou seja, se cruzam em um ponto comum.