Considere as retas
r: & (x, y, z)=(1,0,0)+t(-1,2,1), t in R s: & (x, y, z)=(1,-1,0)+t(-1,3,1), t in R
(a) Qual a posição relativa entre as retas r e s (paralelas coincidentes, paralelas distintas, concorrentes ou reversas)?
(b) O ponto Q=(1,0,1) está mais próximo de r ou de s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço, e , definidas por equações paramétricas. Nosso objetivo é, na parte (a), descobrir como essas retas se posicionam uma em relação à outra: se são paralelas coincidentes, paralelas distintas, se se cruzam (concorrentes) ou se são reversas (não se cruzam e não são paralelas). Para isso, vamos precisar entender os vetores diretores das retas e verificar se são paralelos ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta r: (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(-1, 2, 1) é dada por:
s: (x, y, z) = (1, -1, 0) + t(-1, 3, 1)
Aqui, o vetor diretor de é .
A reta é:
E o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores diretores são múltiplos um do outro, ou seja, se são paralelos. Para isso, verificamos se existe um número dr = k cdot ds tal que:
-1 = k cdot (-1) Rightarrow k = 1
Vamos comparar as componentes:
2 = k cdot 3 Rightarrow k = 23
Já percebemos que não é o mesmo nas duas equações, então os vetores diretores não são múltiplos. Portanto, as retas e não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, elas podem ser concorrentes (se se cruzarem em um ponto) ou reversas (se não se cruzarem). Para descobrir, vamos tentar resolver o sistema de equações que iguala os pontos das duas retas.
Igualamos as componentes:
1 - t = 1 - t'
0 + 2t = -1 + 3t'
0 + t = 0 + t'
Da terceira equação, temos 1 - t = 1 - t Rightarrow 0 = 0 . Substituindo na primeira, temos:
2t = -1 + 3t Rightarrow 2t - 3t = -1 Rightarrow -t = -1 Rightarrow t = 1
Isso é verdadeiro para qualquer , mas na segunda equação substituindo :
Então, existe um valor de que satisfaz todas as equações, especificamente . Isso significa que as retas se cruzam no ponto correspondente a .

Passo 5

Para confirmar, vamos encontrar as coordenadas desse ponto de interseção substituindo (x, y, z) = (1, 0, 0) + 1 cdot (-1, 2, 1) = (0, 2, 1) na equação de (x, y, z) = (1, -1, 0) + 1 cdot (-1, 3, 1) = (0, 2, 1) :
E na reta :
Os pontos coincidem, confirmando que as retas se cruzam nesse ponto.

Resposta

(a) As retas e são concorrentes, ou seja, se cruzam em um ponto comum.

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