Determine o plano pi que contém a reta r(definida pela parametrização r:=(x,y,z)=(1-t,2+t,3+2t)) e é perpendicular ao vetor diretor da reta s:=(3,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar o plano que:
  1. Contém a reta , que é dada pela parametrização .
  2. É perpendicular ao vetor diretor da reta , que é .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente como achar a equação de um plano a partir de um ponto que ele contém e de um vetor normal a ele.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto qualquer que pertença à reta r(0) = (1-0, 2+0, 3+0) = (1, 2, 3) . Vamos escolher para facilitar:
Então, o ponto está no plano .

Passo 3

Sabemos que o plano A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 é perpendicular ao vetor 3(x - 1) -1(y - 2) +1(z - 3) = 0 . Isso significa que é o vetor normal ao plano. A equação geral de um plano é:
Onde é o vetor normal e é um ponto no plano. Substituindo e o ponto :

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação:
3x - 3 - y + 2 + z - 3 = 0
3x - y + z - 4 = 0

Resposta

A equação do plano 3x - y + z - 4 = 0 é:

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