Reta r passa pelos pontos A=(0,0,0) e B=(1,1,1).
(a) Determine uma equação paramétrica para a reta r.
(b) Determine uma equação simétrica para a reta r.

Passo 1

Então, a gente tem uma reta que passa pelos pontos e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar duas formas de descrever essa reta: uma equação paramétrica e uma equação simétrica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e parametrização de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta d = B - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1) . O vetor diretor é basicamente a direção em que a reta está apontando, e ele pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de de :

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor x = x0 + dx t y = y0 + dy t z = z0 + dz t , podemos escrever a equação paramétrica da reta. A equação paramétrica é uma maneira de expressar as coordenadas , e de qualquer ponto na reta em função de um parâmetro :
Onde é um ponto da reta (vamos usar ) e são as componentes do vetor diretor.

Passo 4

Substituindo os valores de x = 0 + 1 cdot t = t y = 0 + 1 cdot t = t z = 0 + 1 cdot t = t e do vetor diretor na equação paramétrica, temos:
x = t, y = t, z = t
Então, a equação paramétrica da reta é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação simétrica da reta . A equação simétrica também descreve a reta, mas de uma maneira diferente, relacionando as coordenadas , e diretamente, sem usar um parâmetro.

Passo 6

Para escrever a equação simétrica, a gente começa com as equações paramétricas que já encontramos:
x = t, y = t, z = t
Como todas as coordenadas são iguais a , podemos igualar essas expressões entre si.

Passo 7

Vamos isolar t = x, t = y, t = z em cada equação:
x1 = y1 = z1
Agora, igualando , e , temos:
Aqui, os denominadores são as componentes do vetor diretor .

Passo 8

Assim, a equação simétrica fica:
x1 = y1 = z1
Ou simplificando:
x = y = z

Resposta

A equação simétrica da reta x1 = y1 = z1 é:
x = y = z
Ou simplesmente:

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