Reta passa pelos pontos e .
(a) Determine uma equação paramétrica para a reta .
(b) Determine uma equação simétrica para a reta .
Passo 1
Então, a gente tem uma reta que passa pelos pontos e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar duas formas de descrever essa reta: uma equação paramétrica e uma equação simétrica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e parametrização de retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta . O vetor diretor é basicamente a direção em que a reta está apontando, e ele pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de de :
Passo 3
Agora que temos o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta. A equação paramétrica é uma maneira de expressar as coordenadas , e de qualquer ponto na reta em função de um parâmetro :
Onde é um ponto da reta (vamos usar ) e são as componentes do vetor diretor.
Passo 4
Substituindo os valores de x = 0 + 1 cdot t = t y = 0 + 1 cdot t = t z = 0 + 1 cdot t = t e do vetor diretor na equação paramétrica, temos:
x = t, y = t, z = t
Então, a equação paramétrica da reta é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação simétrica da reta . A equação simétrica também descreve a reta, mas de uma maneira diferente, relacionando as coordenadas , e diretamente, sem usar um parâmetro.
Passo 6
Para escrever a equação simétrica, a gente começa com as equações paramétricas que já encontramos:
x = t, y = t, z = t
Como todas as coordenadas são iguais a , podemos igualar essas expressões entre si.
Passo 7
Vamos isolar t = x, t = y, t = z em cada equação:
x1 = y1 = z1
Agora, igualando , e , temos:
Aqui, os denominadores são as componentes do vetor diretor .