Considere as retas
r: x-12=-1-y4, z=2 s:llll x & = & -1 & +t y & = & -2 t z & = & -8 & +t
a) Mostre que as retas r e s são reversas

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas retas, e , definidas por equações diferentes. O conteúdo que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre a relação entre retas no espaço. Para mostrar que as retas são reversas, precisamos verificar que elas não são paralelas e que não se intersectam.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações paramétricas das duas retas. Para a reta x - 12 = -1 - y4, z = 2 :
x = 1 + 2lambda, y = -1 - 4lambda, z = 2
Podemos reescrever isso em forma paramétrica, usando um parâmetro x = -1 + t y = -2t z = -8 + t :
Para a reta :
Aqui, o parâmetro é .

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de é , e o vetor diretor de é . Para verificar se as retas são paralelas, precisamos ver se um vetor é múltiplo do outro.
Vemos que não é múltiplo de , pois o terceiro componente não corresponde (1 ≠ 0). Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar valores de 1 + 2lambda = -1 + t -1 - 4lambda = -2t 2 = -8 + t e 2 = -8 + t implies t = 10 que satisfaçam as equações:
1 + 2lambda = -1 + 10 implies 2lambda = 8 implies lambda = 4
Resolvendo a terceira equação para -1 - 4(4) = -2(10) implies -17 = -20 :
Agora, substituindo na primeira equação:
Verificamos na segunda equação:
Como essa equação não é verdadeira, as retas não se intersectam.

Resposta

Portanto, as retas e são reversas.

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