Considere as retas
e^r r: -1-x2=y=-1-z3 s:l x+y-z=0 x+2 y-2 z =1
(a) Determine a posição relativa entre as retas r e s;
(b) Determine o ângulo entre as retas r e s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar duas retas no espaço tridimensional, chamadas de r e s. Primeiro, vamos entender um pouco sobre posição relativa de retas no espaço e ângulo entre retas. Para isso, vamos precisar das equações paramétricas das retas e do produto escalar para calcular o ângulo entre elas.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações das retas de forma mais clara. A reta r está dada por:
-1 - x2 = y = -1 - z3
Podemos reescrever isso em forma paramétrica, escolhendo um parâmetro, por exemplo, t:
x = -1 - 2t y = t z = -1 - 3t
Então, a reta r pode ser representada como:
r(t) = (-1, 0, -1) + t(-2, 1, -3)

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a reta s. Ela está definida pelo sistema de equações:
x + y - z = 0 x + 2y - 2z = 1
Vamos resolver esse sistema para encontrar as equações paramétricas da reta s. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(x + 2y - 2z) - (x + y - z) = 1 - 0 y - z = 1
Então, podemos expressar y = z + 1. Vamos usar z = t como parâmetro:
z = t y = t + 1 x + (t + 1) - t = 0 Rightarrow x = -1
Portanto, a reta s pode ser escrita como:
s(t) = (-1, 1, 0) + t(0, 1, 1)

Passo 4

Agora que temos as equações paramétricas das retas r e s, podemos analisar a posição relativa delas. No espaço tridimensional, duas retas podem ser:
  1. Paralelas
  2. Concorrentes (intersectam-se em um ponto)
  3. Êxtuas (não são nem paralelas nem concorrem)
Vamos verificar se as retas são paralelas, ou seja, se os vetores diretores são múltiplos um do outro.

Passo 5

Os vetores diretores das retas são:
dr = (-2, 1, -3)
ds = (0, 1, 1)
Vamos ver se existe um número lambda tal que:
dr = lambda ds
Isso implicaria:
-2 = 0 cdot lambda (não possível) ãí
Portanto, as retas r e s não são paralelas.

Passo 6

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas são concorrentes, ou seja, se têm um ponto em comum. Para isso, igualamos as equações paramétricas:
-1 - 2t = -1 t = 1 + t' -1 - 3t = t'
Resolvendo a primeira equação:
-1 - 2t = -1 Rightarrow -2t = 0 Rightarrow t = 0
Substituindo t = 0 na segunda equação:
0 = 1 + t' Rightarrow t' = -1
Agora, substituindo t' = -1 na terceira equação:
-1 - 3(0) = -1 Rightarrow -1 = -1 (válido) á
Então, as retas intersectam-se no ponto (-1, 0, -1).

Passo 7

Agora que sabemos que as retas são concorrentes, vamos calcular o ângulo entre elas. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores das retas:
cos theta = dr cdot ds|dr| |ds|
Calculando o produto escalar:
dr cdot ds = (-2)(0) + (1)(1) + (-3)(1) = 0 + 1 -3 = -2
Calculando as normas dos vetores:
|dr| = raiz(-2)^2 + 1^2 + (-3)^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14
|ds| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
Agora, substituindo na fórmula:
cos theta = -2raiz14 cdot raiz2 = -2raiz28 = -22raiz7 = -1raiz7
Portanto, o ângulo é:
theta = arccos( -1raiz7 ) approx 109,47^circ

Resposta

(a) As retas r e s são concorrentes, ou seja, elas se intersectam no ponto (-1, 0, -1).
(b) O ângulo entre as retas r e s é aproximadamente 109,47^circ.

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