Sejam $r:\left{ r:l x=1+2 t y=-2+3 t z=3-t e s:l x=1+2 t y=-2-t z=3+2 t \quad e \quad s:\left{ (a) Determine a posição relativa entre as retas \right.\right.
$$
(a) Determine a posição relativa entre as retas e e (b) Determine a equação de um plano .
(b) Determine a equação de um plano que contém ambas as retas que contém ambas as retas e e .

Passo 1

Beleza, vamos começar! Temos duas retas no espaço que são definidas por equações paramétricas, chamadas r e s. O exercício pede para:
(a) Determinar a posição relativa entre as retas r e s.
(b) Encontrar a equação de um plano pi que contenha ambas as retas r e s.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre retas no espaço tridimensional, verificar se elas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam, e também como determinar a equação de um plano que contenha duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações paramétricas das duas retas.
Para a reta r:
x = 1 + 2t y = -2 + 3t z = 3 - t
E para a reta s:
x = 1 + 2t y = -2 - t z = 3 + 2t
Perceba que ambas as retas compartilham o mesmo coeficiente para x em relação a t (2), mas diferem nos coeficientes de y e z. Isso sugere que elas podem ser paralelas ou se cruzarem em algum ponto.

Passo 3

Vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores diretores delas forem múltiplos entre si. O vetor diretor da reta r é vr = (2, 3, -1) e o vetor diretor da reta s é vs = (2, -1, 2).
Para verificar se são múltiplos, vamos comparar os componentes:
22 = 1, 3-1 = -3, -12 = -0,5
Como as razões não são iguais, os vetores diretores não são múltiplos, então as retas não são paralelas.

Passo 4

Agora, vamos verificar se as retas se intersectam. Para isso, vamos procurar valores de t para cada reta que resultem no mesmo ponto.
Igualando as equações de x, temos:
1 + 2tr = 1 + 2ts implies tr = ts
Como tr = ts, podemos denotar t = tr = ts.
Agora, igualando as equações de y:
-2 + 3t = -2 - t
Resolvendo:
3t + t = -2 + 2 implies 4t = 0 implies t = 0
Agora, verificamos o z:
Para t = 0 na reta r:
z = 3 - 0 = 3
Para t = 0 na reta s:
z = 3 + 0 = 3
Então, ambas as retas passam pelo ponto (1, -2, 3) quando t=0. Portanto, as retas se intersectam nesse ponto.

Resposta

(a) As retas r e s se cruzam no ponto (1, -2, 3).
(b) Como as retas se intersectam, elas estão contidas no mesmo plano. A equação desse plano pode ser encontrada usando os vetores diretores das retas. Calculando, a equação do plano pi é:
2x + y + z = 3

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