Determine a posição relativa entre os planos abaixo:
(a)
e
;
(b)
e
.
(a)
(b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três planos em cada item (a) e (b) e precisamos determinar a posição relativa entre eles, ou seja, se são paralelos, coincidentes ou se se intersectam em uma linha ou em um único ponto. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica espacial, analisando os vetores normais dos planos e resolvendo sistemas de equações.
Passo 2
Item (a)
Os planos são:
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano:
- Plano 1:
- Plano 2:
- Plano 3:
Vamos verificar se algum par de vetores normais é paralelo, ou seja, se um é múltiplo do outro. Se nenhum for múltiplo, os planos não são paralelos.
Observando
,
e
, vemos que nenhum vetor é múltiplo exato do outro. Portanto, os planos não são paralelos.
Passo 3
Como os planos não são paralelos, vamos verificar se eles se intersectam em um único ponto ou se têm interseções lineares. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado pelos três planos.
Temos:
-
→ …(1) -
→ …(2) -
→ …(3)
Passo 4
Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar expressões para
e
em função de
.
Da equação (1):
→
Substituindo
na equação (2):
Agora, temos
e
.
Passo 5
Vamos substituir
e
nas duas expressões encontradas na equação (3):
Substituindo:
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar
e
:
Passo 7
Agora vamos para o item (b). Os planos são:
Vamos começar identificando os vetores normais:
- Plano 1:
- Plano 2:
- Plano 3:
Passo 8
Vamos verificar se algum par de vetores normais é paralelo.
Observando
e
, percebemos que
não é múltiplo de
(pois
para nenhum
), então os planos não são paralelos.
Passo 9
Como os planos não são paralelos, vamos resolver o sistema de equações para encontrar a interseção.
Temos:
-
…(1) -
…(2) -
…(3)
Passo 10
Como a equação (2) já nos dá
, podemos substituir esse valor nas equações (1) e (3):
Da equação (1):
Da equação (3):
Passo 11
Agora temos o sistema:
Perceba que as duas equações são contraditórias (
), o que significa que não há solução para
e
.
Passo 12
Como não há solução para
e
quando
, isso significa que não existe um ponto que pertença aos três planos simultaneamente. Portanto, os planos não se intersectam em um único ponto.
Resposta
Os planos não têm um ponto de interseção comum, ou seja, eles não se intersectam em nenhum ponto.