Determine a equação geral do plano pi e um vetor diretor da reta r dado que:
(a) pi passa pelos pontos A=(1,0,1), B=(0,-1,1) e C=(-1,0,1);
(b) r passa pelos pontos P=(2,1,0) e Q=(0,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos e também determinar um vetor diretor para uma reta que passa por dois pontos. A gente vai usar conceitos de Geometria Analítica, como vetores, planos e retas no espaço tridimensional. Vamos decompor isso em passos bem simples para entender tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): encontrar a equação do plano pi que passa pelos pontos A=(1,0,1), B=(0,-1,1) e C=(-1,0,1). Para achar a equação do plano, a gente precisa de um vetor normal a ele, que é perpendicular ao plano. E para achar esse vetor normal, vamos usar dois vetores que estão dentro do plano.

Passo 3

Vamos criar dois vetores no plano usando os pontos dados. Por exemplo, podemos fazer:
  • Vetor AB: De A para B, que é B - A = (0-1, -1-0, 1-1) = (-1, -1, 0)
  • Vetor AC: De A para C, que é C - A = (-1-1, 0-0, 1-1) = (-2, 0, 0)

Passo 4

Agora, para achar o vetor normal n do plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores que estão no plano:
n = AB times AC = i & j & k -1 & -1 & 0 -2 & 0 & 0 = i( -1 cdot 0 - 0 cdot 0 ) - j( -1 cdot 0 - 0 cdot -2 ) + k( -1 cdot 0 - (-1) cdot -2 ) = i(0) - j(0) + k(0 - 2) = -2k
Então, o vetor normal é n = (0, 0, -2), ou simplificando, n = (0, 0, 1).

Passo 5

Com o vetor normal em mãos, podemos escrever a equação geral do plano. A equação de um plano é dada por:
nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano, vamos usar o ponto A=(1,0,1). Substituindo os valores:
0(x - 1) + 0(y - 0) + 1(z - 1) = 0 0 + 0 + z - 1 = 0 z = 1
Então, a equação do plano é simplesmente z = 1.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): encontrar um vetor diretor da reta r que passa pelos pontos P=(2,1,0) e Q=(0,0,0). O vetor diretor da reta é aquele que indica a direção em que a reta segue, e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos pontos.

Passo 7

Vamos calcular o vetor PQ:
PQ = Q - P = (0-2, 0-1, 0-0) = (-2, -1, 0)
Esse vetor PQ = (-2, -1, 0) é um vetor diretor da reta r.

Resposta

(a) A equação geral do plano pi é z = 1.
(b) Um vetor diretor da reta r é v = (-2, -1, 0).

Exercícios relacionados