Determine a equação geral do plano e um vetor diretor da reta r dado que:
(a) passa pelos pontos e ;
(b) r passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos e também determinar um vetor diretor para uma reta que passa por dois pontos. A gente vai usar conceitos de Geometria Analítica, como vetores, planos e retas no espaço tridimensional. Vamos decompor isso em passos bem simples para entender tudo direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a): encontrar a equação do plano que passa pelos pontos , e . Para achar a equação do plano, a gente precisa de um vetor normal a ele, que é perpendicular ao plano. E para achar esse vetor normal, vamos usar dois vetores que estão dentro do plano.
Passo 3
Vamos criar dois vetores no plano usando os pontos dados. Por exemplo, podemos fazer:
Vetor : De A para B, que é
Vetor : De A para C, que é
Passo 4
Agora, para achar o vetor normal do plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores que estão no plano:
Então, o vetor normal é n = (0, 0, -2), ou simplificando, n = (0, 0, 1).
Passo 5
Com o vetor normal em mãos, podemos escrever a equação geral do plano. A equação de um plano é dada por:
nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano, vamos usar o ponto A=(1,0,1). Substituindo os valores:
Agora, vamos para a parte (b): encontrar um vetor diretor da reta r que passa pelos pontos P=(2,1,0) e Q=(0,0,0). O vetor diretor da reta é aquele que indica a direção em que a reta segue, e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos pontos.
Passo 7
Vamos calcular o vetor PQ:
PQ = Q - P = (0-2, 0-1, 0-0) = (-2, -1, 0)
Esse vetor PQ = (-2, -1, 0) é um vetor diretor da reta r.