Determine a equação geral do plano pi e um vetor diretor da reta r dado que:
(a) pi passa pelos pontos A=(1,0,2), B=(0,1,1) e C=(-1,0,0);
(b) r passa pelos pontos P=(1,0,0) e Q=(0,-2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partes aqui:
(a) Encontrar a equação geral de um plano pi que passa por três pontos: A=(1,0,2), B=(0,1,1) e C=(-1,0,0). Isso envolve geometria analítica, especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional.
(b) Encontrar um vetor diretor da reta r que passa pelos pontos P=(1,0,0) e Q=(0,-2,1). Aqui, vamos trabalhar com vetores e retas no espaço.
Vamos lá, passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontrando a equação do plano pi
Primeiro, para encontrar a equação geral de um plano, a gente precisa de um ponto no plano e de um vetor normal a ele. O vetor normal é perpendicular ao plano.
  1. Encontrar dois vetores no plano:
    Podemos formar dois vetores usando os pontos dados:
    • Vetor AB = B - A = (0-1, 1-0, 1-2) = (-1, 1, -1)
    • Vetor AC = C - A = (-1-1, 0-0, 0-2) = (-2, 0, -2)
  2. Encontrar o vetor normal ao plano:
    Para achar o vetor normal, a gente faz o produto vetorial desses dois vetores:
    n = AB times AC
    Calculando:
    n = i & j & k -1 & 1 & -1 -2 & 0 & -2 = i(1 cdot (-2) - (-1) cdot 0) - j(-1 cdot (-2) - (-1) cdot (-2)) + k(-1 cdot 0 - 1 cdot (-2))
    Simplificando:
    n = i(-2) - j(2 - 2) + k(0 + 2) = (-2, 0, 2)
    Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -2:
    n = (1, 0, -1)
  3. Escrever a equação do plano:
    A equação geral do plano é dada por:
    a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
    Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano (vamos usar o ponto A) e (a, b, c) são as componentes do vetor normal n.
    Substituindo:
    1(x - 1) + 0(y - 0) -1(z - 2) = 0
    Simplificando:
    x - 1 - z + 2 = 0 implies x - z + 1 = 0
    Ou, rearranjando:
    x - z = -1

Passo 3

Parte (b): Encontrando um vetor diretor da reta r
Para achar um vetor diretor de uma reta que passa por dois pontos, a gente simplesmente subtrai as coordenadas desses pontos para formar o vetor.
  1. Formar o vetor diretor:
    Usando os pontos P=(1,0,0) e Q=(0,-2,1):
    PQ = Q - P = (0-1, -2-0, 1-0) = (-1, -2, 1)
    Então, o vetor diretor da reta r é PQ = (-1, -2, 1).

Resposta

(a) A equação geral do plano pi é x - z = -1.
(b) Um vetor diretor da reta r é v = (-1, -2, 1).

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