Determine a equação geral do plano e um vetor diretor da reta r dado que:
(a) passa pelos pontos e ;
(b) passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partes aqui:
(a) Encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos: , e . Isso envolve geometria analítica, especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional.
(b) Encontrar um vetor diretor da reta que passa pelos pontos e . Aqui, vamos trabalhar com vetores e retas no espaço.
Vamos lá, passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Encontrando a equação do plano
Primeiro, para encontrar a equação geral de um plano, a gente precisa de um ponto no plano e de um vetor normal a ele. O vetor normal é perpendicular ao plano.
Encontrar dois vetores no plano:
Podemos formar dois vetores usando os pontos dados:
Vetor
Vetor
Encontrar o vetor normal ao plano:
Para achar o vetor normal, a gente faz o produto vetorial desses dois vetores:
Calculando:
Simplificando:
n = i(-2) - j(2 - 2) + k(0 + 2) = (-2, 0, 2)
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -2:
n = (1, 0, -1)
Escrever a equação do plano:
A equação geral do plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano (vamos usar o ponto A) e (a, b, c) são as componentes do vetor normal n.
Substituindo:
1(x - 1) + 0(y - 0) -1(z - 2) = 0
Simplificando:
x - 1 - z + 2 = 0 implies x - z + 1 = 0
Ou, rearranjando:
x - z = -1
Passo 3
Parte (b): Encontrando um vetor diretor da reta r
Para achar um vetor diretor de uma reta que passa por dois pontos, a gente simplesmente subtrai as coordenadas desses pontos para formar o vetor.
Formar o vetor diretor:
Usando os pontos P=(1,0,0) e Q=(0,-2,1):
PQ = Q - P = (0-1, -2-0, 1-0) = (-1, -2, 1)
Então, o vetor diretor da reta r é PQ = (-1, -2, 1).