Você precisa planejar um trajeto para um treino de corrida, seguindo as seguintes condições.
- O ponto de partida está localizado em
, isto é está a 4 km a oeste da origem do sistema de coordenadas.
- O trajeto segue uma linha reta até um ponto
.
- Depois, o trajeto segue novamente em linha reta, até o checkpoint localizado em
.
- Depois, o trajeto segue uma linha reta de volta ao ponto de partida.
O trajeto completo deve medir 22 km .
Qual destas equações representa o conjunto dos pontos
que você pode usar para atender todas as condições impostas?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Qual destas equações representa o conjunto dos pontos
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para planejarmos um trajeto de corrida que começa no ponto
, vai até um ponto qualquer
, segue para o checkpoint em
e retorna ao ponto de partida. O trajeto todo precisa ter 22 km. Vamos usar conhecimentos de geometria, especialmente sobre elipses, e algumas fórmulas de distância para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um trajeto total de 22 km. Esse trajeto é composto por três partes:
- Do ponto
até . - De
até . - De
de volta para .
Vamos calcular a distância dessa terceira parte para simplificar nosso cálculo.
Passo 3
A distância entre
e
é simplesmente a diferença nas coordenadas x, já que ambas estão no eixo x. Então:
Isso significa que as outras duas partes do trajeto (até
e até o checkpoint) devem somar:
Passo 4
Agora, sabemos que a soma das distâncias de
para
e de
para
é 14 km. Isso é uma característica chave de uma elipse, onde os dois pontos
e
são os focos da elipse.
Passo 5
Vamos lembrar a equação padrão de uma elipse com focos no eixo x:
Aqui,
é o comprimento do eixo maior (a soma das distâncias dos focos a qualquer ponto na elipse) e
é a distância entre os focos.
Passo 6
No nosso caso:
- A soma das distâncias é
, então . - A distância entre os focos é
, então .
Usando a relação
, podemos encontrar
:
Passo 7
Substituindo
e
na equação da elipse, temos:
Resposta
A equação que representa o conjunto dos pontos
é a opção (a):