Você precisa planejar um trajeto para um treino de corrida, seguindo as seguintes condições.
  • O ponto de partida está localizado em , isto é está a 4 km a oeste da origem do sistema de coordenadas.
  • O trajeto segue uma linha reta até um ponto .
  • Depois, o trajeto segue novamente em linha reta, até o checkpoint localizado em .
  • Depois, o trajeto segue uma linha reta de volta ao ponto de partida.
    O trajeto completo deve medir 22 km .
    Qual destas equações representa o conjunto dos pontos que você pode usar para atender todas as condições impostas?
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para planejarmos um trajeto de corrida que começa no ponto , vai até um ponto qualquer , segue para o checkpoint em e retorna ao ponto de partida. O trajeto todo precisa ter 22 km. Vamos usar conhecimentos de geometria, especialmente sobre elipses, e algumas fórmulas de distância para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um trajeto total de 22 km. Esse trajeto é composto por três partes:
  1. Do ponto até .
  2. De até .
  3. De de volta para .
Vamos calcular a distância dessa terceira parte para simplificar nosso cálculo.

Passo 3

A distância entre e é simplesmente a diferença nas coordenadas x, já que ambas estão no eixo x. Então:
â
Isso significa que as outras duas partes do trajeto (até e até o checkpoint) devem somar:

Passo 4

Agora, sabemos que a soma das distâncias de para e de para é 14 km. Isso é uma característica chave de uma elipse, onde os dois pontos e são os focos da elipse.

Passo 5

Vamos lembrar a equação padrão de uma elipse com focos no eixo x:
Aqui, é o comprimento do eixo maior (a soma das distâncias dos focos a qualquer ponto na elipse) e é a distância entre os focos.

Passo 6

No nosso caso:
  • A soma das distâncias é , então .
  • A distância entre os focos é , então .
Usando a relação , podemos encontrar :

Passo 7

Substituindo e na equação da elipse, temos:

Resposta

A equação que representa o conjunto dos pontos é a opção (a):

Exercícios relacionados

Seja uma matriz simétrica -quadrada pertencendo ao . Prove que .
Considere as retas e :
(b) Determinar o ^angulo entre e .
Resolva os sistemas a seguir.
(f)
Considere as retas e :
1
(a) Estudar a posi, ao relativa entre e
.