Você precisa planejar um trajeto para um treino de corrida, seguindo as seguintes condições.
  • O ponto de partida está localizado em (-4,0), isto é está a 4 km a oeste da origem do sistema de coordenadas.
  • O trajeto segue uma linha reta até um ponto X=(x, y).
  • Depois, o trajeto segue novamente em linha reta, até o checkpoint localizado em (4,0).
  • Depois, o trajeto segue uma linha reta de volta ao ponto de partida.
    checkmark O trajeto completo deve medir 22 km .
    Qual destas equações representa o conjunto dos pontos X=(x, y) que você pode usar para atender todas as condições impostas?
    (a) x^249+y^233=1
    (b) x^233+y^249=1
    © x^2+y^2=33
    (d) 33 x^2+49 y^2=1
    (e) y^2=-49(x-33)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para planejarmos um trajeto de corrida que começa no ponto (-4,0), vai até um ponto qualquer X=(x, y), segue para o checkpoint em (4,0) e retorna ao ponto de partida. O trajeto todo precisa ter 22 km. Vamos usar conhecimentos de geometria, especialmente sobre elipses, e algumas fórmulas de distância para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um trajeto total de 22 km. Esse trajeto é composto por três partes:
  1. Do ponto (-4,0) até X=(x, y).
  2. De X=(x, y) até (4,0).
  3. De (4,0) de volta para (-4,0).
Vamos calcular a distância dessa terceira parte para simplificar nosso cálculo.

Passo 3

A distância entre (4,0) e (-4,0) é simplesmente a diferença nas coordenadas x, já que ambas estão no eixo x. Então:
Distância = 4 - (-4) = 8 km â
Isso significa que as outras duas partes do trajeto (até X e até o checkpoint) devem somar:
22 km - 8 km = 14 km

Passo 4

Agora, sabemos que a soma das distâncias de X para (-4,0) e de X para (4,0) é 14 km. Isso é uma característica chave de uma elipse, onde os dois pontos (-4,0) e (4,0) são os focos da elipse.

Passo 5

Vamos lembrar a equação padrão de uma elipse com focos no eixo x:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, 2a é o comprimento do eixo maior (a soma das distâncias dos focos a qualquer ponto na elipse) e 2c é a distância entre os focos.

Passo 6

No nosso caso:
  • A soma das distâncias é 2a = 14 km, então a = 7 km.
  • A distância entre os focos é 2c = 8 km, então c = 4 km.
Usando a relação c^2 = a^2 - b^2, podemos encontrar b^2:
4^2 = 7^2 - b^2 16 = 49 - b^2 b^2 = 49 - 16 b^2 = 33

Passo 7

Substituindo a^2 = 49 e b^2 = 33 na equação da elipse, temos:
x^249 + y^233 = 1

Resposta

A equação que representa o conjunto dos pontos X=(x, y) é a opção (a):
x^249 + y^233 = 1

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