Considere as retas r1 e r2 :
r1: x-4 2=-1=z+1
ll & x=1 -2 e r2: & y 4=z-2-3
1
(a) Estudar a posi, , ^sim ao relativa entre r1 e
r2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço, chamadas e . O objetivo é descobrir como essas duas retas se posicionam uma em relação à outra. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente estuda posições relativas de retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar analisar os vetores diretores das retas e verificar se elas são paralelas, se intersectam ou se são retas paralelas não coplanares (chamadas de retas escalenas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação das retas que nos foi dada. Parece que houve um pequeno erro de formatação, mas vamos interpretar assim:
Para a reta x - 42 = y + 1-1 = z + 1k :
x = 1, y = -2, z - 2-3 = 4
(Note: Assumiremos que o denominador para x = 1, y = -2, z = -12 + 2 = -10 é , já que estava escrito como , mas sem um denominador claro. Se tiver outra interpretação, por favor, me avise!)
Para a reta :
Essa equação está um pouco confusa, então vamos reescrever de forma mais clara:
Para :
Isso sugere que é na verdade um ponto fixo, já que e são constantes e é outra constante.

Passo 3

Vamos verificar se é uma reta ou apenas um ponto. Se só tem uma solução para , então é apenas um ponto no espaço, e não uma reta. Assim, a posição relativa entre uma reta e um ponto pode ser:
  • O ponto pertence à reta.
  • O ponto não pertence à reta.

Passo 4

Para confirmar, vamos considerar x - 42 = y + 1-1 = z + 1k = t como uma reta parametrizada. Vamos parametrizar x = 2t + 4 :
y = -t -1
Então:
z = kt -1
Agora, vamos comparar com o ponto .

Passo 5

Vamos determinar se existe um valor de 2t + 4 = 1 implies 2t = -3 implies t = -32 que satisfaça todas as três equações simultaneamente:
  1. -t -1 = -2 implies -t = -1 implies t = 1
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Como os valores de são diferentes ( e ), não há um valor de que satisfaça ambas as equações. Portanto, o ponto não pertence à reta .

Passo 6

Como é apenas um ponto e não pertence à reta , concluímos que a posição relativa entre e é que está fora da reta .

Resposta

As retas e não se intersectam e não pertence a , ou seja, o ponto está fora da reta .

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