Determine o todos os valores de e para que seja:
(04): definida positiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todos os valores de e que fazem a matriz ser definida positiva. Isso entra no tema de matrizes e propriedades como positividade. Para resolver, vamos precisar saber o que significa uma matriz ser definida positiva e como verificar isso usando os menores principais dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz definida positiva. Basicamente, uma matriz quadrada é definida positiva se, para qualquer vetor não nulo , o produto é positivo. Mas tem uma forma mais prática de verificar isso usando os menores principais da matriz.

Passo 3

Os menores principais são os determinantes das submatrizes formadas pelos primeiros elementos de cada linha e coluna, para , onde é a ordem da matriz. Para uma matriz ser definida positiva, todos esses menores principais precisam ser positivos.

Passo 4

Vamos aplicar isso na matriz :
Primeiro, vamos verificar o primeiro menor principal, que é apenas o elemento .

Passo 5

O primeiro menor principal é . Para ser positivo:

Passo 6

Agora, o segundo menor principal é o determinante da submatriz no canto superior esquerdo:
Para ser positivo:

Passo 7

Finalmente, o terceiro menor principal é o determinante da matriz completa :
Vamos calcular:
Para ser positivo:

Resposta

Resumindo tudo, para a matriz ser definida positiva, os valores de e devem satisfazer:
Ou seja, os valores de devem ser menores que e precisa ser maior que zero.

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Considere as retas e :
1
(a) Estudar a posi, ao relativa entre e
.
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Resolva os sistemas a seguir.
(e)