Determine o todos os valores de e para que seja:
(04): definida positiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todos os valores de e que fazem a matriz ser definida positiva. Isso entra no tema de matrizes e propriedades como positividade. Para resolver, vamos precisar saber o que significa uma matriz ser definida positiva e como verificar isso usando os menores principais dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz definida positiva. Basicamente, uma matriz quadrada é definida positiva se, para qualquer vetor não nulo , o produto é positivo. Mas tem uma forma mais prática de verificar isso usando os menores principais da matriz.
Passo 3
Os menores principais são os determinantes das submatrizes formadas pelos primeiros elementos de cada linha e coluna, para , onde é a ordem da matriz. Para uma matriz ser definida positiva, todos esses menores principais precisam ser positivos.
Passo 4
Vamos aplicar isso na matriz A = alpha & 1 & 0 beta & 2 & 1 0 & 1 & 2 :
Primeiro, vamos verificar o primeiro menor principal, que é apenas o elemento .
Passo 5
O primeiro menor principal é alpha > 0 . Para ser positivo:
Passo 6
Agora, o segundo menor principal é o determinante da submatriz alpha & 1 beta & 2 = alpha cdot 2 - 1 cdot beta = 2alpha - beta no canto superior esquerdo:
2alpha - beta > 0 Rightarrow beta < 2alpha
Para ser positivo:
Passo 7
Finalmente, o terceiro menor principal é o determinante da matriz completa det(A) = alpha & 1 & 0 beta & 2 & 1 0 & 1 & 2 :