Determine o todos os valores de alpha e beta para que A=[cccalpha & 1 & 0 beta & 2 & 1 0 & 1 & 2] seja:
(04): definida positiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todos os valores de e que fazem a matriz ser definida positiva. Isso entra no tema de matrizes e propriedades como positividade. Para resolver, vamos precisar saber o que significa uma matriz ser definida positiva e como verificar isso usando os menores principais dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz definida positiva. Basicamente, uma matriz quadrada é definida positiva se, para qualquer vetor não nulo , o produto é positivo. Mas tem uma forma mais prática de verificar isso usando os menores principais da matriz.

Passo 3

Os menores principais são os determinantes das submatrizes formadas pelos primeiros elementos de cada linha e coluna, para , onde é a ordem da matriz. Para uma matriz ser definida positiva, todos esses menores principais precisam ser positivos.

Passo 4

Vamos aplicar isso na matriz A = alpha & 1 & 0 beta & 2 & 1 0 & 1 & 2 :
Primeiro, vamos verificar o primeiro menor principal, que é apenas o elemento .

Passo 5

O primeiro menor principal é alpha > 0 . Para ser positivo:

Passo 6

Agora, o segundo menor principal é o determinante da submatriz alpha & 1 beta & 2 = alpha cdot 2 - 1 cdot beta = 2alpha - beta no canto superior esquerdo:
2alpha - beta > 0 Rightarrow beta < 2alpha
Para ser positivo:

Passo 7

Finalmente, o terceiro menor principal é o determinante da matriz completa det(A) = alpha & 1 & 0 beta & 2 & 1 0 & 1 & 2 :
det(A) = alpha cdot (2 cdot 2 - 1 cdot 1) - 1 cdot (beta cdot 2 - 0 cdot 1) + 0 cdot (beta cdot 1 - 0 cdot 2)
Vamos calcular:
det(A) = alpha cdot (4 - 1) - 1 cdot (2beta - 0) + 0
det(A) = 3alpha - 2beta
3alpha - 2beta > 0 Rightarrow 2beta < 3alpha Rightarrow beta < 32alpha
Para ser positivo:

Resposta

Resumindo tudo, para a matriz alpha > 0, beta < 2alpha e beta < 32alpha ser definida positiva, os valores de e devem satisfazer:
Ou seja, os valores de devem ser menores que e precisa ser maior que zero.

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