Considere os vetores u e v com |u|=5,|v|=3 e sendo 60^circ o ângulo entre eles. Calcule a àrea do paralelogramo determinado pelos vetores u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem dois vetores, u e v, com magnitudes |u| = 5 e |v| = 3, e o ângulo entre eles é de 60^circ. Nosso objetivo é encontrar a área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Para isso, vamos usar um conceito de geometria vetorial que relaciona a área do paralelogramo com o produto vetorial dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual fórmula usamos para calcular a área do paralelogramo formado por dois vetores. A área A pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
A = |u| cdot |v| cdot sin(theta)
Onde:
  • |u| e |v| são as magnitudes dos vetores u e v, respectivamente.
  • theta é o ângulo entre os dois vetores.
  • sin(theta) é o seno do ângulo theta.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula. Sabemos que |u| = 5, |v| = 3 e theta = 60^circ. Então:
A = 5 cdot 3 cdot sin(60^circ)

Passo 4

Precisamos calcular o valor de sin(60^circ). Sabemos que sin(60^circ) = raiz32. Substituindo esse valor na equação:
A = 5 cdot 3 cdot raiz32

Passo 5

Vamos multiplicar os valores:
A = 15 cdot raiz32 = 15raiz32

Passo 6

Para deixar a resposta mais completa, podemos calcular o valor numérico aproximado usando raiz3 approx 1,732:
A approx 15 cdot 1,7322 = 25,982 approx 12,99

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v é aproximadamente 12,99 unidades quadradas.

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