b) Determine, se existir, o ponto de interseção das retas r e s.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço, chamadas e , e o objetivo é descobrir se elas se cruzam em algum ponto. Se sim, qual é esse ponto? Para resolver isso, vamos precisar entender como as retas são representadas no espaço tridimensional e usar um pouco de matemática para encontrar o ponto de interseção, se existir.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de uma forma que seja mais fácil de comparar. A reta r: 1 - x2 = 2 - y2 = z + 13 está dada nas chamadas equações simétricas:
1 - x2 = lambda Rightarrow x = 1 - 2lambda
Vamos transformar isso em equações paramétricas, que são mais práticas para encontrar pontos de interseção. Para isso, vamos associar cada fração a um parâmetro, digamos 2 - y2 = lambda Rightarrow y = 2 - 2lambda :
z + 13 = lambda Rightarrow z = 3lambda - 1
r: l x = 1 - 2lambda y = 2 - 2lambda z = 3lambda - 1
s: l x = -1 + t y = 1 + t z = 1 + 2t
Então, as equações paramétricas da reta ficam:
A reta já está nas equações paramétricas:
Passo 3
Agora que temos as equações paramétricas das duas retas, vamos supor que existe um ponto comum a elas. Isso significa que para alguns valores de 1 - 2lambda = -1 + t (Equação 1) e 2 - 2lambda = 1 + t (Equação 2) , os componentes 3lambda - 1 = 1 + 2t (Equação 3) , e serão iguais. Então, vamos igualar as equações correspondentes:
çã
çã
çã
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 4
Vamos começar resolvendo a Equação 1 para 1 - 2lambda = -1 + t Rightarrow t = 2 - 2lambda :
Agora, vamos substituir essa expressão de 2 = 3 na Equação 2:
Simplificando:
Isso é impossível! Significa que não existe um valor de que satisfaça essa igualdade.
Passo 5
Já que encontramos uma contradição ao tentar igualar as componentes das retas, conclui-se que não existe um ponto que pertença simultaneamente às retas e . Portanto, as retas e não se intersectam no espaço.