Considere o seguinte sistema de equações lineares:
a^2 x-y & =0 x+b y & =0
com b in R-^* ( R-^* é o conjunto dos números reais negativos). Determine, se existe, o valor de a em função de b de modo que o sistema tenha infinitas soluções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! A gente tem duas equações com duas incógnitas, e , e precisa achar o valor de em função de de forma que o sistema tenha infinitas soluções. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares, como determinantes e condições para que o sistema tenha múltiplas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
a^2x - y = 0 x + by = 0
Queremos que esse sistema tenha infinitas soluções. Isso só acontece quando as duas equações são, basicamente, a mesma linha, ou seja, uma é múltiplo da outra. Para sistemas lineares, isso significa que o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero.

Passo 3

Vamos formar a matriz dos coeficientes:
a^2 & -1 1 & b
O determinante dessa matriz é calculado assim:
det = a^2 cdot b - (-1) cdot 1 = a^2b + 1
Para o sistema ter infinitas soluções, o determinante deve ser zero:
a^2b + 1 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para a^2b + 1 = 0 a^2b = -1 a^2 = -1b :
Lembrando que é um número real negativo ( ), então será positivo, o que é importante porque precisa ser positivo.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a = pm raiz-1b , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso nos dá os valores de em função de que fazem o sistema ter infinitas soluções.

Resposta

Os valores de que garantem infinitas soluções são .

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