Considere o seguinte sistema de equações lineares:
( é o conjunto dos números reais negativos). Determine, se existe, o valor de em função de de modo que o sistema tenha infinitas soluções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! A gente tem duas equações com duas incógnitas, e , e precisa achar o valor de em função de de forma que o sistema tenha infinitas soluções. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares, como determinantes e condições para que o sistema tenha múltiplas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Queremos que esse sistema tenha infinitas soluções. Isso só acontece quando as duas equações são, basicamente, a mesma linha, ou seja, uma é múltiplo da outra. Para sistemas lineares, isso significa que o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero.
Passo 3
Vamos formar a matriz dos coeficientes:
O determinante dessa matriz é calculado assim:
Para o sistema ter infinitas soluções, o determinante deve ser zero:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para :
Lembrando que é um número real negativo (), então será positivo, o que é importante porque precisa ser positivo.
Passo 5
Finalmente, para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso nos dá os valores de em função de que fazem o sistema ter infinitas soluções.
Resposta
Os valores de que garantem infinitas soluções são .