Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe o conjunto
onde
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. Temos uma transformação
definida por:
O conjunto
é dado por:
Nosso objetivo é desenhar o conjunto
, ou seja, visualizar como o conjunto
se transforma no espaço tridimensional através da função
. Para isso, vamos precisar entender transformações paramétricas e geometria espacial, especialmente sobre superfícies como paraboloides.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da transformação
:
As primeiras duas equações (
e
) nos lembram das coordenadas polares, onde
é a distância radial e
é o ângulo. Isso sugere que estamos mapeando pontos do plano polar para coordenadas cartesianas no plano
.
Passo 3
Vamos relacionar
e
com
e
. Sabemos que em coordenadas polares:
Comparando com nossa transformação, vemos que
e
. Isso significa que para cada par
em
, estamos mapeando para um ponto
no plano
.
Passo 4
Agora, olhamos para a terceira componente:
Como
(porque
), isso implica que
. Além disso, podemos relacionar
com
e
usando as duas primeiras equações:
Portanto, temos a equação
, que representa uma superfície conhecida como paraboloide circular.
Passo 5
Vamos visualizar o conjunto
. Como
varia de 0 até infinito e
varia de 0 a
, estamos essencialmente mapeando todos os pontos em círculos de raio
no plano
e elevando-os até a altura
. Isso forma uma paraboloide que se abre para cima, simétrica em relação ao eixo
.
Resposta
O conjunto
é um paraboloide circular dado pela equação
. Essa superfície é simétrica em torno do eixo
e se estende indefinidamente para cima.
Exercícios relacionados
Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe a imagem de
.
Considere que
é o gráfico da função,
, ou seja,
é dada por
. Prove que a área de
é dada por
.
Seja a transformação
. Desenhe o conjunto
onde
.
Defina ou enuncie os seguintes objetos ou teoremas: Escreva alguma forma vetorial do teorema de Green. Justifique.