Seja a transformação f(u, v) = (x, y, z), onde x = u cos v, y = u sen v e z = u^2. Desenhe o conjunto f(B) onde B = {(u, v) in R^2 ; 0 <= u, 0 <= v <= 2 pi}.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. Temos uma transformação definida por:
O conjunto é dado por:
Nosso objetivo é desenhar o conjunto , ou seja, visualizar como o conjunto se transforma no espaço tridimensional através da função . Para isso, vamos precisar entender transformações paramétricas e geometria espacial, especialmente sobre superfícies como paraboloides.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da transformação :
As primeiras duas equações ( e ) nos lembram das coordenadas polares, onde é a distância radial e é o ângulo. Isso sugere que estamos mapeando pontos do plano polar para coordenadas cartesianas no plano .

Passo 3

Vamos relacionar e com e . Sabemos que em coordenadas polares:
Comparando com nossa transformação, vemos que e . Isso significa que para cada par em , estamos mapeando para um ponto no plano .

Passo 4

Agora, olhamos para a terceira componente:
Como (porque ), isso implica que . Além disso, podemos relacionar com e usando as duas primeiras equações:
Portanto, temos a equação , que representa uma superfície conhecida como paraboloide circular.

Passo 5

Vamos visualizar o conjunto . Como varia de 0 até infinito e varia de 0 a , estamos essencialmente mapeando todos os pontos em círculos de raio no plano e elevando-os até a altura . Isso forma uma paraboloide que se abre para cima, simétrica em relação ao eixo .

Resposta

O conjunto é um paraboloide circular dado pela equação . Essa superfície é simétrica em torno do eixo e se estende indefinidamente para cima.

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