Escreva o polinômio de Taylor de ordem 4 da função no ponto 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem 4 para a função no ponto . Isso faz parte de cálculo, especificamente da parte que estuda séries de Taylor para aproximar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar uma função usando um polinômio que tem a mesma derivada da função até uma certa ordem no ponto escolhido. No nosso caso, queremos até a quarta derivada.

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 4 para uma função no ponto é dado por:
Aqui, vamos substituir por e por 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de até a quarta ordem:
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
  3. Terceira derivada:
  4. Quarta derivada:

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:

Passo 7

Vamos simplificar os coeficientes:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 4 da função no ponto é:

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( ) Todo conjunto que contém dois vetores iguais é ?
Escreva a série de Maclaurin da função .
Considere a seguinte aproximação, por polinômio de Taylor,
Determine o valor aproximado de .
Escreva o polinômio como um polinômio de Taylor no ponto .