Considere o seguinte campo vetorial, f(x, y) = < 3 x^2 y, -2 x y^3 >. Encontre rot f(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar a rotacional (ou “rot”) de um campo vetorial específico: . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de vetores, focando na fórmula da rotacional para campos bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a rotacional de um campo vetorial. Em duas dimensões, se temos um campo vetorial , a rotacional é dada por:
Isso basicamente mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto.

Passo 3

Vamos identificar as componentes e do nosso campo vetorial:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante durante a derivação.

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Novamente, tratamos como uma constante.

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da rotacional:

Resposta

A rotacional do campo vetorial é:

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d^2y/dx^2 + y = 0 ; y(0) = -1, dy/dx(0) = 1
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n^2(1-cos (1 / n^2))
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty ln (1+1n^4)
Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo:
a1 = 2, an+1 = (-1)^(n+1) * a(n) / 2