Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty ln (1+1n^4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e critérios de convergência. Vamos precisar comparar nossa série com uma série que a gente já saiba se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão da série: . Sabemos que para valores pequenos de , o logaritmo natural pode ser aproximado pela relação . Isso é útil porque fica bem pequeno conforme cresce.

Passo 3

Usando essa aproximação, temos que:
ln (1+1n^4) approx 1n^4
Isso sugere que nossa série pode se comportar como a série .

Passo 4

Sabemos que a série é conhecida como série p e ela converge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Então, a série converge.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Critério da Comparação pelo Limite para confirmar a convergência da nossa série original. Esse critério diz que se , onde , e converge, então também converge.
Aqui, e .

Passo 6

Calculamos o limite:
limn to infty ln (1+1n^4)1n^4 = limn to infty ln (1+1n^4)1n^4 = 1
Esse limite é 1, que está entre 0 e infinito.

Passo 7

Como converge e o limite acima é 1, pelo Critério da Comparação pelo Limite, a série também converge.

Resposta

A série converge.

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