Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se a série
converge ou não. Para isso, vamos usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e critérios de convergência. Vamos precisar comparar nossa série com uma série que a gente já saiba se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a expressão da série:
. Sabemos que para valores pequenos de
, o logaritmo natural pode ser aproximado pela relação
. Isso é útil porque
fica bem pequeno conforme
cresce.
Passo 3
Usando essa aproximação, temos que:
Isso sugere que nossa série
pode se comportar como a série
.
Passo 4
Sabemos que a série
é conhecida como série p e ela converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Então, a série
converge.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Critério da Comparação pelo Limite para confirmar a convergência da nossa série original. Esse critério diz que se
, onde
, e
converge, então
também converge.
Aqui,
e
.
Passo 6
Calculamos o limite:
Esse limite é 1, que está entre 0 e infinito.
Passo 7
Como
converge e o limite acima é 1, pelo Critério da Comparação pelo Limite, a série
também converge.
Resposta
A série
converge.
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Considere o seguinte campo vetorial,
. Encontre rot
.
Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo:
Descrever as superfícies de nível do campo escalar
: