Encontre uma função f:[1,+infty) R positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q. f(n) seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries. Série: sum 1raiz1+n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma função que seja positiva, decrescente e contínua, de modo que seja igual ao termo geral da série . Depois, vamos usar o Teste da Integral para ver se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries, funções decrescentes e o Teste da Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função f(x) = 1raiz1 + x^2 que corresponde ao termo geral da série. O termo geral é , então substituindo por , temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função f(x) = 1raiz1 + x^2 é positiva no intervalo dado. Olhando para a função:
O denominador é sempre positivo para porque a raiz quadrada de qualquer número positivo é positiva. Logo, também é positiva nesse intervalo.

Passo 4

Vamos mostrar que f'(x) = ddx ( 1raiz1 + x^2 ) = -x(1 + x^2)^3/2 é decrescente. Para isso, analisamos a derivada de . Se a derivada for negativa, a função é decrescente.
Calculando a derivada:
Observamos que para , é negativa porque o numerador é negativo e o denominador é positivo. Portanto, é decrescente no intervalo .

Passo 5

Também precisamos verificar se é contínua no intervalo . A função é composta por funções contínuas (a soma, multiplicação e raiz quadrada de funções contínuas são contínuas), e o denominador nunca é zero nesse intervalo. Portanto, é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos aplicar o Teste da Integral para determinar a convergência da série integral1^+infty 1raiz1 + x^2 , dx . O Teste da Integral diz que a série integral 1raiz1 + x^2 , dx = sinh^-1(x) + C = ln(x + raiz1 + x^2) + C converge se a integral limb to +infty [ ln(b + raiz1 + b^2) - ln(1 + raiz2) ] for convergente.
Vamos calcular a integral:
Sabemos que:
Então, avaliando a integral imprópria:
À medida que tende ao infinito, tende a , que também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.

Resposta

A série diverge, conforme demonstrado pelo Teste da Integral.

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