Encontre uma função
positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q.
seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries. Série:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma função
que seja positiva, decrescente e contínua, de modo que
seja igual ao termo geral da série
. Depois, vamos usar o Teste da Integral para ver se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries, funções decrescentes e o Teste da Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função
que corresponde ao termo geral da série. O termo geral é
, então substituindo
por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é positiva no intervalo dado. Olhando para a função:
O denominador
é sempre positivo para
porque a raiz quadrada de qualquer número positivo é positiva. Logo,
também é positiva nesse intervalo.
Passo 4
Vamos mostrar que
é decrescente. Para isso, analisamos a derivada de
. Se a derivada for negativa, a função é decrescente.
Calculando a derivada:
Observamos que para
,
é negativa porque o numerador
é negativo e o denominador é positivo. Portanto,
é decrescente no intervalo
.
Passo 5
Também precisamos verificar se
é contínua no intervalo
. A função
é composta por funções contínuas (a soma, multiplicação e raiz quadrada de funções contínuas são contínuas), e o denominador nunca é zero nesse intervalo. Portanto,
é contínua em
.
Passo 6
Agora, vamos aplicar o Teste da Integral para determinar a convergência da série
. O Teste da Integral diz que a série
converge se a integral
for convergente.
Vamos calcular a integral:
Sabemos que:
Então, avaliando a integral imprópria:
À medida que
tende ao infinito,
tende a
, que também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.
Resposta
A série
diverge, conforme demonstrado pelo Teste da Integral.