Encontre uma função positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q. seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries. Série:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma função que seja positiva, decrescente e contínua, de modo que seja igual ao termo geral da série . Depois, vamos usar o Teste da Integral para ver se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries, funções decrescentes e o Teste da Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que corresponde ao termo geral da série. O termo geral é , então substituindo por , temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é positiva no intervalo dado. Olhando para a função:
O denominador é sempre positivo para porque a raiz quadrada de qualquer número positivo é positiva. Logo, também é positiva nesse intervalo.
Passo 4
Vamos mostrar que é decrescente. Para isso, analisamos a derivada de . Se a derivada for negativa, a função é decrescente.
Calculando a derivada:
Observamos que para , é negativa porque o numerador é negativo e o denominador é positivo. Portanto, é decrescente no intervalo .
Passo 5
Também precisamos verificar se é contínua no intervalo . A função é composta por funções contínuas (a soma, multiplicação e raiz quadrada de funções contínuas são contínuas), e o denominador nunca é zero nesse intervalo. Portanto, é contínua em .
Passo 6
Agora, vamos aplicar o Teste da Integral para determinar a convergência da série . O Teste da Integral diz que a série converge se a integral for convergente.
Vamos calcular a integral:
Sabemos que:
Então, avaliando a integral imprópria:
À medida que tende ao infinito, tende a , que também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.
Resposta
A série diverge, conforme demonstrado pelo Teste da Integral.