Encontre uma função positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q. seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries. Série:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma função que seja positiva, decrescente e contínua, de modo que seja igual ao termo geral da série . Depois, vamos usar o Teste da Integral para ver se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries, funções decrescentes e o Teste da Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que corresponde ao termo geral da série. O termo geral é , então substituindo por , temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é positiva no intervalo dado. Olhando para a função:
O denominador é sempre positivo para porque a raiz quadrada de qualquer número positivo é positiva. Logo, também é positiva nesse intervalo.

Passo 4

Vamos mostrar que é decrescente. Para isso, analisamos a derivada de . Se a derivada for negativa, a função é decrescente.
Calculando a derivada:
Observamos que para , é negativa porque o numerador é negativo e o denominador é positivo. Portanto, é decrescente no intervalo .

Passo 5

Também precisamos verificar se é contínua no intervalo . A função é composta por funções contínuas (a soma, multiplicação e raiz quadrada de funções contínuas são contínuas), e o denominador nunca é zero nesse intervalo. Portanto, é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos aplicar o Teste da Integral para determinar a convergência da série . O Teste da Integral diz que a série converge se a integral for convergente.
Vamos calcular a integral:
Sabemos que:
Então, avaliando a integral imprópria:
À medida que tende ao infinito, tende a , que também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.

Resposta

A série diverge, conforme demonstrado pelo Teste da Integral.

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Considere o seguinte circuito com infinitas resistências
A resistência equivalente entre os pontos , do circuito acima, existe e pode ser calculada mediante o seguinte processo indutivo:
Primeiro considere o circuito
mediante o uso das leis de Kirchhoff e a lei de Ohm a resistência equivalente entre os pontos a b para este circuito é
Agora, considere o circuito
novamente, mediante o uso das leis de Kirchhoff e a lei de Ohm a resistência equivalente, para esse novo circuito, é
Assim, mediante esse processo indutivo, e utilizando as leis de Kirchhoff e a lei de Ohm, encontre uma fórmula para a n-ésima resistência equivalente para o n-ésimo sub circuito. Finalmente a resistência equivalente entre os pontos , no circuito infinito, será dada pelo limite
Calcule tal resistência equivalente quando .
Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries: .