Considere a seguinte cônica
dada em coordenadas cartesianas. Identifique a cônica e determine os focos, excentricidade, assíntotas, reta diretriz e vértices, caso existam. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação
e pede para identificar qual é a cônica e encontrar seus focos, excentricidade, assíntotas, diretriz e vértices. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das formas padrão das cônicas no plano cartesiano, especialmente a equação da elipse, já que a nossa equação se parece com ela.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual cônica estamos lidando. A equação está na forma
, que é a forma padrão da elipse quando
. Aqui,
,
,
e
. Portanto, temos uma elipse centrada no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Como
e o termo com
está sobre
, a elipse tem eixo maior na horizontal. Os vértices ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Assim:
- Vértice à direita:
- Vértice à esquerda:
Passo 4
Vamos calcular os focos da elipse. Para isso, usamos a fórmula
:
Os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Então:
- Foco à direita:
- Foco à esquerda:
Passo 5
A excentricidade (
) da elipse é dada por
:
Isso nos diz quão alongada a elipse é.
Passo 6
As assíntotas são linhas que a cônica se aproxima infinitamente, mas apenas as hipérboles têm assíntotas. Como estamos lidando com uma elipse, não existem assíntotas.
Passo 7
Agora, vamos encontrar as retas diretrizes da elipse. As diretrizes de uma elipse com eixo horizontal são dadas por:
Substituindo os valores:
Portanto:
Resposta
A cônica é uma elipse centrada em
com vértices em
e
, focos em
e
, excentricidade igual a
. Não possui assíntotas. As retas diretrizes são
e
.