Considere a seguinte cônica (x-3)^225+(y+1)^216=1 dada em coordenadas cartesianas. Identifique a cônica e determine os focos, excentricidade, assíntotas, reta diretriz e vértices, caso existam. Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação e pede para identificar qual é a cônica e encontrar seus focos, excentricidade, assíntotas, diretriz e vértices. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das formas padrão das cônicas no plano cartesiano, especialmente a equação da elipse, já que a nossa equação se parece com ela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual cônica estamos lidando. A equação está na forma , que é a forma padrão da elipse quando . Aqui, , , e . Portanto, temos uma elipse centrada no ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Como e o termo com está sobre , a elipse tem eixo maior na horizontal. Os vértices ficam a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Assim:
  • Vértice à direita:
  • Vértice à esquerda:

Passo 4

Vamos calcular os focos da elipse. Para isso, usamos a fórmula c = raiz25 - 16 = raiz9 = 3 :
Os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Então:
  • Foco à direita:
  • Foco à esquerda:

Passo 5

A excentricidade ( e = 35 = 0,6 ) da elipse é dada por :
Isso nos diz quão alongada a elipse é.

Passo 6

As assíntotas são linhas que a cônica se aproxima infinitamente, mas apenas as hipérboles têm assíntotas. Como estamos lidando com uma elipse, não existem assíntotas.

Passo 7

Agora, vamos encontrar as retas diretrizes da elipse. As diretrizes de uma elipse com eixo horizontal são dadas por:
x = h pm ae
Substituindo os valores:
x = 3 pm 50,6 = 3 pm 253
Portanto:
Diretriz 1: x = 3 + 253 = 343
Diretriz 2: x = 3 - 253 = -163

Resposta

A cônica é uma elipse centrada em com vértices em e , focos em e , excentricidade igual a . Não possui assíntotas. As retas diretrizes são e .

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