Sejam v1=(1,2,3,2,-1), v2=(1,0,0,2,2), v3=(-1,0,-1,0,3) vetores de R^5. Considere os subespaços de R^5
U=(a1, a2, 0, a4, a5) mid a1, ldots, a5 in R e W=[v1, v2, v3]
Determine dim(U) e dim(W)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre vetores em um espaço de cinco dimensões, ou seja, . A gente precisa encontrar a dimensão de dois subespaços: e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, dimensão e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a dimensão de um subespaço. A dimensão de um subespaço é o número de vetores que formam uma base desse espaço, ou seja, o número máximo de vetores linearmente independentes nele. Agora, vamos calcular .

Passo 3

O subespaço U = (a1, a2, 0, a4, a5) mid a1, a2, a4, a5 in R é definido como:
Isso significa que qualquer vetor em tem a terceira coordenada igual a zero, mas as demais coordenadas podem ser quaisquer números reais.

Passo 4

Como a terceira coordenada é sempre zero, temos 4 coordenadas livres ( ). Cada uma dessas coordenadas correspondem a uma direção independente no subespaço. Portanto, a dimensão de é 4.

Passo 5

Agora, vamos calcular W = [ v1, v2, v3 ] . O subespaço é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores , e :
Para achar a dimensão de , precisamos determinar quantos desses vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Vamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores e calculamos o posto dessa matriz. Se o posto for 3, os vetores são independentes e a dimensão será 3. Caso contrário, será menor.

Passo 7

Os vetores são:
v1 = (1, 2, 3, 2, -1) v2 = (1, 0, 0, 2, 2) v3 = (-1, 0, -1, 0, 3)
Montamos a matriz:
1 & 1 & -1 2 & 0 & 0 3 & 0 & -1 2 & 2 & 0 -1 & 2 & 3
Agora, vamos reduzir essa matriz para escada para encontrar o posto.

Passo 8

Após realizar operações de linha (como subtrair múltiplos de uma linha de outra), vemos que não conseguimos reduzir a matriz além de ter 3 linhas não nulas e independentes. Isso significa que os três vetores são linearmente independentes.

Passo 9

Como os vetores , e são linearmente independentes, o posto da matriz é 3. Portanto, a dimensão de é 3.

Resposta

dim(U) = 4 e dim(W) = 3

Exercícios relacionados