Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre vetores em um espaço de cinco dimensões, ou seja, . A gente precisa encontrar a dimensão de dois subespaços: e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, dimensão e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a dimensão de um subespaço. A dimensão de um subespaço é o número de vetores que formam uma base desse espaço, ou seja, o número máximo de vetores linearmente independentes nele. Agora, vamos calcular .
Passo 3
O subespaço é definido como:
Isso significa que qualquer vetor em tem a terceira coordenada igual a zero, mas as demais coordenadas podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Como a terceira coordenada é sempre zero, temos 4 coordenadas livres (). Cada uma dessas coordenadas correspondem a uma direção independente no subespaço. Portanto, a dimensão de é 4.
Passo 5
Agora, vamos calcular . O subespaço é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores , e :
Para achar a dimensão de , precisamos determinar quantos desses vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Vamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores e calculamos o posto dessa matriz. Se o posto for 3, os vetores são independentes e a dimensão será 3. Caso contrário, será menor.
Passo 7
Os vetores são:
Montamos a matriz:
Agora, vamos reduzir essa matriz para escada para encontrar o posto.
Passo 8
Após realizar operações de linha (como subtrair múltiplos de uma linha de outra), vemos que não conseguimos reduzir a matriz além de ter 3 linhas não nulas e independentes. Isso significa que os três vetores são linearmente independentes.
Passo 9
Como os vetores , e são linearmente independentes, o posto da matriz é 3. Portanto, a dimensão de é 3.