Sejam v1=(1,2,3), v2=(1,0,2) vetores de R^3. Considere os subespaços de R^3
U=(a1, a2, 0) mid a1, a2 in R e W=[v1, v2]
Determine dim(U) e dim(W)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! Temos dois vetores U = , (a1, a2, 0) mid a1, a2 in R , e W = [, v1, v2 ,] e em . Além disso, nos foram dados dois subespaços:
Queremos descobrir as dimensões desses subespaços, ou seja, e . Para isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais e dimensão.

Passo 2

Vamos começar com o subespaço . Esse subespaço consiste em todos os vetores da forma , onde e são números reais. Isso significa que está no plano XY, já que a terceira coordenada é sempre zero.

Passo 3

Para encontrar a dimensão de , observamos quantos parâmetros livres temos. Aqui, temos duas variáveis livres: e . Cada parâmetro livre adiciona uma dimensão ao subespaço.

Passo 4

Portanto, como temos dois parâmetros livres, a dimensão de dim(U) = 2 é 2:

Passo 5

Agora, vamos para o subespaço , que é gerado pelos vetores e . Para determinar a dimensão de , precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com 1 & 1 2 & 0 3 & 2 e det 1 & 1 2 & 0 = (1)(0) - (1)(2) = -2 como colunas:
Calculamos o determinante dos vetores e usando os dois primeiros componentes:
Como o determinante é diferente de zero ( ), os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Já que e são linearmente independentes, o subespaço tem dimensão igual ao número de vetores que o geram, que são dois.

Resposta

dim(U) = 2 e dim(W) = 2

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