Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! Temos dois vetores e em . Além disso, nos foram dados dois subespaços:
Queremos descobrir as dimensões desses subespaços, ou seja, e . Para isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais e dimensão.
Passo 2
Vamos começar com o subespaço . Esse subespaço consiste em todos os vetores da forma , onde e são números reais. Isso significa que está no plano XY, já que a terceira coordenada é sempre zero.
Passo 3
Para encontrar a dimensão de , observamos quantos parâmetros livres temos. Aqui, temos duas variáveis livres: e . Cada parâmetro livre adiciona uma dimensão ao subespaço.
Passo 4
Portanto, como temos dois parâmetros livres, a dimensão de é 2:
Passo 5
Agora, vamos para o subespaço , que é gerado pelos vetores e . Para determinar a dimensão de , precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com e como colunas:
Calculamos o determinante dos vetores e usando os dois primeiros componentes:
Como o determinante é diferente de zero (), os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Já que e são linearmente independentes, o subespaço tem dimensão igual ao número de vetores que o geram, que são dois.