Sejam v1=(1,2,3,2,-1), v2=(1,0,0,2,2), v3=(-1,0,-1,0,3) vetores de R^5. Considere os subespaços de R^5
U=(a1, a2, 0, a4, a5) mid a1, ldots, a5 in R e W=[v1, v2, v3]
Determine dim(U+W) e dim(U cap W)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos três vetores no espaço v1 = (1, 2, 3, 2, -1), v2 = (1, 0, 0, 2, 2), v3 = (-1, 0, -1, 0, 3) :
U = (a1, a2, 0, a4, a5) mid a1, ldots, a5 in R e W = [ v1, v2, v3 ]
E dois subespaços de :
Queremos determinar:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços, dimensões, soma e interseção de subespaços. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a dimensão de U = (a1, a2, 0, a4, a5) mid a1, ldots, a5 in R . Olhando para a definição de dim(U) = 4 :
Perceba que o terceiro componente é sempre zero. Isso significa que temos quatro componentes livres ( ). Portanto:

Passo 3

Agora, vamos descobrir a dimensão de A = 1 & 1 & -1 2 & 0 & 0 3 & 0 & -1 2 & 2 & 0 -1 & 2 & 3 . é o subespaço gerado pelos vetores . Para encontrar a dimensão de , precisamos verificar quantos desses vetores são linearmente independentes.
Vamos montar uma matriz cujas colunas são esses vetores:
O próximo passo é calcular o posto dessa matriz, que nos dará a dimensão de .

Passo 4

Vamos aplicar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz 1 & 1 & -1 0 & -2 & 2 0 & -3 & 2 0 & 0 & 2 0 & 3 & 2 e encontrar o posto.
  1. Primeira coluna: Já temos o 1 no topo. Vamos zerar os demais elementos da primeira coluna.
    • Linha 2: 1 & 1 & -1 0 & -2 & 2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 5
    • Linha 3: dim(W) = 3
    • Linha 4:
    • Linha 5:
    A matriz fica:
  2. Segunda coluna: Vamos focar na segunda coluna. Pegamos o pivô da segunda linha.
    • Linha 2 já tem na segunda coluna.
    • Vamos zerar os elementos abaixo e acima desse pivô.
    • Linha 3:
    • Linha 5:
    A matriz fica:
  3. Terceira coluna: Finalmente, vamos olhar para a terceira coluna.
    • Linha 4 tem 2, e Linha 5 tem 5.
    • Podemos simplificar para ter 1 no pivô, mas já vemos que há dois pivôs nela.
Assim, o posto da matriz é 3, o que significa que os três vetores são linearmente independentes.
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula que relaciona as dimensões da soma e da interseção de dois subespaços:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
Queremos encontrar e . Primeiro, vamos precisar encontrar .

Passo 6

Para encontrar c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = (a1, a2, 0, a4, a5) , procuramos todos os vetores que estão em c1 + c2 - c3 = a1 2c1 + 0c2 + 0c3 = a2 3c1 + 0c2 - c3 = 0 2c1 + 2c2 + 0c3 = a4 -1c1 + 2c2 + 3c3 = a5 e também em . Ou seja, vetores que podem ser escritos como combinações lineares de e que têm o terceiro componente igual a zero.
Vamos escrever:
Isso dá o sistema de equações:
Como queremos encontrar as condições para que o terceiro componente seja zero, focamos nas equações que envolvem .

Passo 7

Vamos resolver o sistema:
c1 + c2 - c3 = a1 2c1 = a2 3c1 - c3 = 0 2c1 + 2c2 = a4 - c1 + 2c2 + 3c3 = a5
Primeiro, da segunda equação:
c1 = a22
Da terceira equação:
3c1 - c3 = 0 Rightarrow c3 = 3c1 = 3a22
Agora, substituímos a22 + c2 - 3a22 = a1 Rightarrow c2 - a2 = a1 Rightarrow c2 = a1 + a2 e 2 times a22 + 2c2 = a4 Rightarrow a2 + 2(a1 + a2) = a4 Rightarrow a2 + 2a1 + 2a2 = a4 Rightarrow 2a1 + 3a2 = a4 na primeira e quarta equações:
  1. Primeira equação:
- a22 + 2(a1 + a2) + 3 times 3a22 = a5
  1. Quarta equação:
- a22 + 2a1 + 2a2 + 9a22 = a5 Rightarrow 2a1 + (-12 + 2 + 92)a2 = a5 Rightarrow 2a1 + 122a2 = a5 Rightarrow 2a1 + 6a2 = a5
E finalmente, a quinta equação:
Simplificando:

Passo 8

Observamos que temos duas condições para 2a1 + 3a2 = a4 2a1 + 6a2 = a5 e dim(U cap W) = 2 :
Isso significa que as componentes e não são livres, mas dependem de e . Logo, na interseção , os vetores são determinados por e .
Portanto:

Passo 9

Agora que já temos dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W) = 4 + 3 - 2 = 5 , e , podemos usar a fórmula da dimensão da soma:

Resposta

boxed dim(U + W) = 5 e dim(U cap W) = 2

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