Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos três vetores no espaço :
E dois subespaços de :
Queremos determinar:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços, dimensões, soma e interseção de subespaços. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a dimensão de . Olhando para a definição de :
Perceba que o terceiro componente é sempre zero. Isso significa que temos quatro componentes livres (). Portanto:
Passo 3
Agora, vamos descobrir a dimensão de . é o subespaço gerado pelos vetores . Para encontrar a dimensão de , precisamos verificar quantos desses vetores são linearmente independentes.
Vamos montar uma matriz cujas colunas são esses vetores:
O próximo passo é calcular o posto dessa matriz, que nos dará a dimensão de .
Passo 4
Vamos aplicar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz 1 & 1 & -1 0 & -2 & 2 0 & -3 & 2 0 & 0 & 2 0 & 3 & 2 e encontrar o posto.
Primeira coluna: Já temos o 1 no topo. Vamos zerar os demais elementos da primeira coluna.
Segunda coluna: Vamos focar na segunda coluna. Pegamos o pivô da segunda linha.
Linha 2 já tem na segunda coluna.
Vamos zerar os elementos abaixo e acima desse pivô.
Linha 3:
Linha 5:
A matriz fica:
Terceira coluna: Finalmente, vamos olhar para a terceira coluna.
Linha 4 tem 2, e Linha 5 tem 5.
Podemos simplificar para ter 1 no pivô, mas já vemos que há dois pivôs nela.
Assim, o posto da matriz é 3, o que significa que os três vetores são linearmente independentes.
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula que relaciona as dimensões da soma e da interseção de dois subespaços:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
Queremos encontrar e . Primeiro, vamos precisar encontrar .
Passo 6
Para encontrar c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = (a1, a2, 0, a4, a5) , procuramos todos os vetores que estão em c1 + c2 - c3 = a1 2c1 + 0c2 + 0c3 = a2 3c1 + 0c2 - c3 = 0 2c1 + 2c2 + 0c3 = a4 -1c1 + 2c2 + 3c3 = a5 e também em . Ou seja, vetores que podem ser escritos como combinações lineares de e que têm o terceiro componente igual a zero.
Vamos escrever:
Isso dá o sistema de equações:
Como queremos encontrar as condições para que o terceiro componente seja zero, focamos nas equações que envolvem .