Prove que:
(a) Dado um quadrilátero (polígono de quatro lados) em que ambos os pares de lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um quadrilátero, que é um polígono com quatro lados. A condição dada é que ambos os pares de lados opostos desse quadrilátero são congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento. Nossa missão é provar que, com essa condição, o quadrilátero é um paralelogramo. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria sobre quadriláteros, congruência de lados e definição de paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um paralelogramo. Um paralelogramo é um tipo especial de quadrilátero onde ambos os pares de lados opostos são paralelos. Isso significa que, se temos um paralelogramo ABCD, então o lado AB é paralelo ao lado CD e o lado AD é paralelo ao lado BC.
Paralelogramo

Passo 3

Sabemos que em um paralelogramo, os lados opostos são congruentes, mas a questão está nos pedindo o contrário: se os lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo. Para provar isso, vamos utilizar as propriedades dos triângulos congruentes.

Passo 4

Vamos desenhar uma diagonal no quadrilátero. Suponha que o quadrilátero seja ABCD e desenhemos a diagonal AC. Essa diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos: △ABC e △ADC.

Passo 5

Agora, vamos analisar esses triângulos:
  1. Lados opostos congruentes: Sabemos que AB ≅ CD e AD ≅ BC (dados da questão).
  2. Diagonal em comum: AC é um lado que pertence a ambos os triângulos△ABC e △ADC, então AC ≅ AC.

Passo 6

Com essas informações, podemos aplicar o Critério de Congruência Lado-Lado-Lado (LLL), que diz que se três lados de um triângulo são congruentes a três lados de outro triângulo, então os triângulos são congruentes. Assim:

Passo 7

Como os triângulos são congruentes, todos os ângulos correspondentes também são congruentes. Isso significa que:

Passo 8

Se os ângulos opostos são congruentes, isso implica que os lados opostos são paralelos. Ou seja, AB é paralelo a CD e AD é paralelo a BC.

Resposta

Portanto, concluímos que o quadrilátero é um paralelogramo.

Exercícios relacionados

Considere as seguinte definições:
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos e pelos segmentos . Os pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são seus lados.
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1) ;
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
© Dois ângulos opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.
Considere as seguinte definições:
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos e pelos segmentos . Os pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são seus lados.
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1) ;
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
(a) Cada diagonal separa um paralelogramo em dois triângulos congruentes.
Considere as seguinte definições:
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos e pelos segmentos . Os pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são seus lados.
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1) ;
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
(b) Dois lados opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.
Prove que duas retas paralelas equidistam em toda a sua extensão. (Lembrando que a distância entre duas retas paralelas é a distância de qualquer ponto de uma delas à outa)