Prove que:
(a) Dado um quadrilátero (polígono de quatro lados) em que ambos os pares de lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.
(a) Dado um quadrilátero (polígono de quatro lados) em que ambos os pares de lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um quadrilátero, que é um polígono com quatro lados. A condição dada é que ambos os pares de lados opostos desse quadrilátero são congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento. Nossa missão é provar que, com essa condição, o quadrilátero é um paralelogramo. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria sobre quadriláteros, congruência de lados e definição de paralelogramo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um paralelogramo. Um paralelogramo é um tipo especial de quadrilátero onde ambos os pares de lados opostos são paralelos. Isso significa que, se temos um paralelogramo ABCD, então o lado AB é paralelo ao lado CD e o lado AD é paralelo ao lado BC.

Passo 3
Sabemos que em um paralelogramo, os lados opostos são congruentes, mas a questão está nos pedindo o contrário: se os lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo. Para provar isso, vamos utilizar as propriedades dos triângulos congruentes.
Passo 4
Vamos desenhar uma diagonal no quadrilátero. Suponha que o quadrilátero seja ABCD e desenhemos a diagonal AC. Essa diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos: △ABC e △ADC.
Passo 5
Agora, vamos analisar esses triângulos:
-
Lados opostos congruentes: Sabemos que AB ≅ CD e AD ≅ BC (dados da questão).
-
Diagonal em comum: AC é um lado que pertence a ambos os triângulos△ABC e △ADC, então AC ≅ AC.
Passo 6
Com essas informações, podemos aplicar o Critério de Congruência Lado-Lado-Lado (LLL), que diz que se três lados de um triângulo são congruentes a três lados de outro triângulo, então os triângulos são congruentes. Assim:
Passo 7
Como os triângulos são congruentes, todos os ângulos correspondentes também são congruentes. Isso significa que:
Passo 8
Se os ângulos opostos são congruentes, isso implica que os lados opostos são paralelos. Ou seja, AB é paralelo a CD e AD é paralelo a BC.
Resposta
Portanto, concluímos que o quadrilátero é um paralelogramo.