Prove que:
(a) Dado um quadrilátero (polígono de quatro lados) em que ambos os pares de lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um quadrilátero, que é um polígono com quatro lados. A condição dada é que ambos os pares de lados opostos desse quadrilátero são congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento. Nossa missão é provar que, com essa condição, o quadrilátero é um paralelogramo. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria sobre quadriláteros, congruência de lados e definição de paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um paralelogramo. Um paralelogramo é um tipo especial de quadrilátero onde ambos os pares de lados opostos são paralelos. Isso significa que, se temos um paralelogramo ABCD, então o lado AB é paralelo ao lado CD e o lado AD é paralelo ao lado BC.
Paralelogramo

Passo 3

Sabemos que em um paralelogramo, os lados opostos são congruentes, mas a questão está nos pedindo o contrário: se os lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo. Para provar isso, vamos utilizar as propriedades dos triângulos congruentes.

Passo 4

Vamos desenhar uma diagonal no quadrilátero. Suponha que o quadrilátero seja ABCD e desenhemos a diagonal AC. Essa diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos: △ABC e △ADC.

Passo 5

Agora, vamos analisar esses triângulos:
  1. Lados opostos congruentes: Sabemos que AB ≅ CD e AD ≅ BC (dados da questão).
  2. Diagonal em comum: AC é um lado que pertence a ambos os triângulos△ABC e △ADC, então AC ≅ AC.
    AB cong CD AD cong BC AC cong AC

Passo 6

Com essas informações, podemos aplicar o Critério de Congruência Lado-Lado-Lado (LLL), que diz que se três lados de um triângulo são congruentes a três lados de outro triângulo, então os triângulos são congruentes. Assim:
triang<= ABC cong triang<= ADC ,,(por LLL)

Passo 7

Como os triângulos são congruentes, todos os ângulos correspondentes também são congruentes. Isso significa que:
ang<= ABC cong ang<= ADC ang<= BAC cong ang<= DAC

Passo 8

Se os ângulos opostos são congruentes, isso implica que os lados opostos são paralelos. Ou seja, AB é paralelo a CD e AD é paralelo a BC.

Resposta

Portanto, concluímos que o quadrilátero é um paralelogramo.

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