Considere as seguinte definições:
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos
e pelos segmentos
. Os pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são seus lados.
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1)
;
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
(b) Dois lados opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1)
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
(b) Dois lados opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um paralelogramo, que é um tipo de polígono com quatro lados, onde os lados opostos são paralelos. O que a gente precisa provar é que, nesse paralelogramo, os dois lados opostos são do mesmo tamanho, ou seja, são congruentes. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria, como propriedades de paralelogramos e a noção de congruência de segmentos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero onde os lados opostos são paralelos. Isso significa que as retas que contêm esses lados nunca se encontram, mesmo se a gente estender elas.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas propriedades dos ângulos em um paralelogramo. Sabemos que, em um paralelogramo, os ângulos opostos são iguais. Isso acontece porque as retas são paralelas e os ângulos são formados por transversais que as cortam.
Passo 4
Vamos usar a propriedade dos Triângulos Congruentes, especificamente o critério Lado-Angulo-Lado (LAL). Esse critério diz que se dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são iguais aos correspondentes lados e ângulos de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.
Passo 5
Vamos dividir o paralelogramo em dois triângulos desenhando uma das diagonais. Essa diagonal corta o paralelogramo em dois triângulos que compartilham um lado comum (a diagonal) e têm dois lados que são lados opostos do paralelogramo, que são paralelos.
Passo 6
Com isso, observamos que nesses dois triângulos, os lados correspondentes são iguais porque são lados do paralelogramo, e o ângulo formado pela diagonal com esses lados é igual em ambos os triângulos (propriedade dos ângulos opostos iguais). Então, pelos critérios de congruência LAL, os dois triângulos são congruentes.
Passo 7
Como os triângulos são congruentes, isso significa que os lados correspondentes nesses triângulos também são iguais. Portanto, os lados opostos do paralelogramo são do mesmo tamanho.
Resposta
Dessa forma, provamos que em um paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes.
Exercícios relacionados
Prove que:
(a) Dado um quadrilátero (polígono de quatro lados) em que ambos os pares de lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.
(a) Dado um quadrilátero (polígono de quatro lados) em que ambos os pares de lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Considere as seguinte definições:
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos e pelos segmentos
. Os pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são seus lados.
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1) ;
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
© Dois ângulos opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1)
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
© Dois ângulos opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.
Prove que duas retas paralelas equidistam em toda a sua extensão. (Lembrando que a distância entre duas retas paralelas é a distância de qualquer ponto de uma delas à outa)
Considere as seguinte definições:
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos e pelos segmentos
. Os pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são seus lados.
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1) ;
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
(d) Dois ângulos consecutivos quaisquer em um paralelogramo são suplementares.
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1)
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
(d) Dois ângulos consecutivos quaisquer em um paralelogramo são suplementares.