Prove que duas retas paralelas equidistam em toda a sua extensão. (Lembrando que a distância entre duas retas paralelas é a distância de qualquer ponto de uma delas à outa)

Passo 1

Vamos provar que duas retas paralelas estão sempre à mesma distância uma da outra em toda a sua extensão. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a fórmula da distância entre duas retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos representar as duas retas paralelas usando equações gerais. Suponha que temos duas retas:
R1: ax + by + c1 = 0
R2: ax + by + c2 = 0
Observe que os coeficientes de e são iguais em ambas as equações, o que confirma que as retas são paralelas.

Passo 3

Para encontrar a distância entre essas duas retas, podemos usar a fórmula da distância entre duas retas paralelas:
d = |c2 - c1|raiza^2 + b^2
Aqui, representa a distância entre as duas retas.

Passo 4

Essa fórmula mostra que a distância depende apenas dos coeficientes , e das constantes e . Como e são os mesmos para ambas as retas, a distância depende apenas da diferença entre e .

Passo 5

Como a diferença é constante e também é constante para as duas retas, concluímos que a distância entre as retas é sempre a mesma, não importa onde você escolha o ponto na reta.

Resposta

Portanto, duas retas paralelas são equidistantes em toda a sua extensão.

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