Considere a seguinte EDO de segunda ordem, linear, não-homogênea:
(a) (10) Determine uma base para o espaço-solução do problema homogêneo associado. Em particular, verifique que cada função é solução da EDO homogênea e que as duas funções são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e não homogênea:
Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para o espaço-solução do problema homogêneo associado, ou seja, resolver quando o lado direito da equação é igual a zero:
Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e equações características. Basicamente, vamos encontrar soluções que satisfazem a equação homogênea e garantir que elas sejam linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, usamos a equação característica.

Passo 3

A equação característica associada é obtida substituindo na equação homogênea:
Dividindo todos os termos por (que nunca é zero):

Passo 4

Agora, resolvemos essa equação quadrática:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Neste caso, ela pode ser fatorada facilmente:
Então, a raiz é:

Passo 5

Como temos uma raiz real dupla , as soluções da equação homogênea são:
e
Essas duas funções formam a base do espaço-solução da equação homogênea.

Passo 6

Vamos verificar que cada função é solução da equação homogênea.
Para :
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Então, é solução.
Para :
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Então, também é solução.

Passo 7

Por fim, precisamos checar se essas duas funções são linearmente independentes. Para isso, calculamos o Wronskiano:

$$
W(u_1, u_2)(t) =

$$
Calculando o determinante:
Como o Wronskiano não é zero, as funções são linearmente independentes.

Resposta

A base para o espaço-solução do problema homogêneo é formada pelas funções e . Essas funções são soluções da equação homogênea e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Determine um fator integrante para a EDO
Nos itens a seguir, encontre o valor de que satisfaz o teorema do Valor Médio para Integrais.
Esboce as curvas de nivel das funções abaixo para 3 valores diferentes:
Dica letra d: utiliza os valores 0,1 e -1.
Considere a seguinte EDO de segunda ordem, linear, não-homogênea:
(b) (10) Obtenha uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar (desnecessário calcular os coeficientes).