Considere a seguinte EDO de segunda ordem, linear, não-homogênea:
(a) (10) Determine uma base para o espaço-solução do problema homogêneo associado. Em particular, verifique que cada função é solução da EDO homogênea e que as duas funções são linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e não homogênea:
Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para o espaço-solução do problema homogêneo associado, ou seja, resolver quando o lado direito da equação é igual a zero:
Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e equações características. Basicamente, vamos encontrar soluções que satisfazem a equação homogênea e garantir que elas sejam linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, usamos a equação característica.
Passo 3
A equação característica associada é obtida substituindo na equação homogênea:
Dividindo todos os termos por (que nunca é zero):
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação quadrática:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Neste caso, ela pode ser fatorada facilmente:
Então, a raiz é:
Passo 5
Como temos uma raiz real dupla , as soluções da equação homogênea são:
e
Essas duas funções formam a base do espaço-solução da equação homogênea.
Passo 6
Vamos verificar que cada função é solução da equação homogênea.
Para :
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Então, é solução.
Para :
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Então, também é solução.
Passo 7
Por fim, precisamos checar se essas duas funções são linearmente independentes. Para isso, calculamos o Wronskiano:
$$
W(u_1, u_2)(t) =
$$
Calculando o determinante:
Como o Wronskiano não é zero, as funções são linearmente independentes.
Resposta
A base para o espaço-solução do problema homogêneo é formada pelas funções e . Essas funções são soluções da equação homogênea e são linearmente independentes.