Considere a seguinte EDO de segunda ordem, linear, não-homogênea:
(b) (10) Obtenha uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar (desnecessário calcular os coeficientes).
Passo 1
Entendendo o Problema e Identificando o Conteúdo
Então, a gente tem essa equação diferencial de segunda ordem:
A nossa missão aqui é encontrar uma solução particular para essa equação usando o método dos coeficientes a determinar. Esse método é parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares Não-Homogêneas. Para resolver, vamos precisar identificar a forma certa da solução particular baseada no lado direito da equação (os termos que não estão multiplicando
ou suas derivadas).
Passo 2
Dividindo a Equação em Partes
A equação tem dois termos no lado direito:
e
. Isso significa que a solução particular será a soma das soluções particulares para cada um desses termos. Ou seja:
Onde
corresponde a
e
corresponde a
.
Passo 3
Encontrando a Solução Particular para
Primeiro, vamos olhar para
. No método dos coeficientes a determinar, a gente propõe uma forma para
que seja parecida com
. Então, imaginamos:
Mas antes de confirmar isso, precisamos verificar se
já é solução da equação homogênea associada. A equação homogênea é:
Resolvendo a equação característica
, encontramos
com multiplicidade 2. Isso significa que
já é solução da parte homogênea. Para evitar repetição, multiplicamos nossa proposta por
:
Passo 4
Encontrando a Solução Particular para
Agora, vamos para
. Aqui, a função envolve um polinômio de primeiro grau multiplicando um seno. A forma geral da solução particular para
é:
Onde
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 5
Montando a Solução Particular Completa
Juntando as duas soluções particulares que encontramos:
Aqui,
são coeficientes que serão determinados substituindo
na equação original. Porém, como o exercício pede só para obter a solução particular sem calcular os coeficientes, podemos parar por aqui.
Resposta
A solução particular pelo método dos coeficientes a determinar é:
Onde
são constantes a serem determinados.
Exercícios relacionados
Esboce as curvas de nivel das funções abaixo para 3 valores diferentes:
Dica letra d: utiliza os valores 0,1 e -1.
Considere a seguinte EDO de segunda ordem, linear, não-homogênea:
(a) (10) Determine uma base para o espaço-solução do problema homogêneo associado. Em particular, verifique que cada função é solução da EDO homogênea e que as duas funções são linearmente independentes.
d)
;
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.