Esboce as curvas de nivel das funções abaixo para 3 valores diferentes:
Dica letra d: utiliza os valores 0,1 e -1.

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos esboçar as curvas de nível da função para três valores diferentes: 0, 1 e -1. Isso envolve entender o que são curvas de nível e como a função logarítmica está relacionada a elas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma curva de nível para uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos:
Para resolver isso, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
Isso nos dá a equação de uma elipse, já que podemos reescrever a equação da seguinte forma:

Passo 4

Agora, vamos calcular para cada um dos valores de :
  • Para :
A equação fica:
Que é uma elipse com semi-eixo maior de 1 na direção e semi-eixo menor de 0.5 na direção .
  • Para :
A equação fica:
Essa elipse é maior que a anterior, com semi-eixo maior de aproximadamente 1.65 na direção e semi-eixo menor de aproximadamente 0.825 na direção .
  • Para :
A equação fica:
Essa elipse é menor que a de , com semi-eixo maior de aproximadamente 0.606 na direção e semi-eixo menor de aproximadamente 0.304 na direção .

Resposta

As curvas de nível da função são elipses com as seguintes equações para os valores dados:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Essas elipses variam em tamanho conforme o valor de , sendo maior para , padrão para e menor para .

Exercícios relacionados

Considere a seguinte EDO de segunda ordem, linear, não-homogênea:
(a) (10) Determine uma base para o espaço-solução do problema homogêneo associado. Em particular, verifique que cada função é solução da EDO homogênea e que as duas funções são linearmente independentes.
Determine um fator integrante para a EDO
Considere a seguinte EDO de segunda ordem, linear, não-homogênea:
(b) (10) Obtenha uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar (desnecessário calcular os coeficientes).
d) ;