Esboce as curvas de nivel das funções abaixo para 3 valores diferentes:
Dica letra d: utiliza os valores 0,1 e -1.
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde precisamos esboçar as curvas de nível da função
para três valores diferentes: 0, 1 e -1. Isso envolve entender o que são curvas de nível e como a função logarítmica está relacionada a elas.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma curva de nível para uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Ou seja,
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Para resolver isso, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
Isso nos dá a equação de uma elipse, já que podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Passo 4
Agora, vamos calcular
para cada um dos valores de
:
- Para
:
A equação fica:
Que é uma elipse com semi-eixo maior de 1 na direção
e semi-eixo menor de 0.5 na direção
.
- Para
:
A equação fica:
Essa elipse é maior que a anterior, com semi-eixo maior de aproximadamente 1.65 na direção
e semi-eixo menor de aproximadamente 0.825 na direção
.
- Para
:
A equação fica:
Essa elipse é menor que a de
, com semi-eixo maior de aproximadamente 0.606 na direção
e semi-eixo menor de aproximadamente 0.304 na direção
.
Resposta
As curvas de nível da função
são elipses com as seguintes equações para os valores dados:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Essas elipses variam em tamanho conforme o valor de
, sendo maior para
, padrão para
e menor para
.
Exercícios relacionados
Considere a seguinte EDO de segunda ordem, linear, não-homogênea:
(a) (10) Determine uma base para o espaço-solução do problema homogêneo associado. Em particular, verifique que cada função é solução da EDO homogênea e que as duas funções são linearmente independentes.
Determine um fator integrante para a EDO
Considere a seguinte EDO de segunda ordem, linear, não-homogênea:
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d)
;