Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar se a série
converge ou diverge. Se ela converger, a gente também vai calcular o valor dessa soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries e testes de convergência, além de técnicas de decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Temos
. Vamos fatorar esse polinômio:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Queremos encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Primeiro, se
:
Em seguida, se
:
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Substituindo essa decomposição na série original, temos:
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam. Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Passo 5
Observando os termos, vemos que
,
, etc., vão se cancelando. O que sobra são os primeiros termos que não têm com o que cancelar:
E os termos que vão até o infinito tendem a zero. Portanto, a soma da série é:
Resposta
A série é convergente e a soma é
.
Exercícios relacionados
d)
;
Considere a seguinte EDO de segunda ordem, linear, não-homogênea:
(b) (10) Obtenha uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar (desnecessário calcular os coeficientes).
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Simplifique a expressão: