Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar se a série converge ou diverge. Se ela converger, a gente também vai calcular o valor dessa soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries e testes de convergência, além de técnicas de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Temos . Vamos fatorar esse polinômio:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar números e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Vamos escolher valores de que simplifiquem a equação. Primeiro, se :
Em seguida, se :
Então, a decomposição fica:

Passo 4

Substituindo essa decomposição na série original, temos:
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam. Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante…

Passo 5

Observando os termos, vemos que , , etc., vão se cancelando. O que sobra são os primeiros termos que não têm com o que cancelar:
E os termos que vão até o infinito tendem a zero. Portanto, a soma da série é:

Resposta

A série é convergente e a soma é .

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d) ;
Considere a seguinte EDO de segunda ordem, linear, não-homogênea:
(b) (10) Obtenha uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar (desnecessário calcular os coeficientes).
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Simplifique a expressão: