Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=2^infty 2n^2+4 n+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar se a série sumn=2^infty 2n^2+4n+3 converge ou diverge. Se ela converger, a gente também vai calcular o valor dessa soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries e testes de convergência, além de técnicas de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Temos n^2 + 4n + 3. Vamos fatorar esse polinômio:
n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3)
Então, a série fica:
sumn=2^infty 2(n + 1)(n + 3)

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 2(n + 1)(n + 3) em frações parciais. Queremos encontrar números A e B tais que:
2(n + 1)(n + 3) = An + 1 + Bn + 3
Multiplicando ambos os lados por (n + 1)(n + 3), temos:
2 = A(n + 3) + B(n + 1)
Vamos escolher valores de n que simplifiquem a equação. Primeiro, se n = -3:
2 = A(-3 + 3) + B(-3 + 1) Rightarrow 2 = 0 + B(-2) Rightarrow B = -1
Em seguida, se n = -1:
2 = A(-1 + 3) + B(-1 + 1) Rightarrow 2 = 2A + 0 Rightarrow A = 1
Então, a decomposição fica:
2(n + 1)(n + 3) = 1n + 1 - 1n + 3

Passo 4

Substituindo essa decomposição na série original, temos:
sumn=2^infty ( 1n + 1 - 1n + 3 )
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam. Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
  • Para n=2: 13 - 15
  • Para n=3: 14 - 16
  • Para n=4: 15 - 17
  • E assim por diante…

Passo 5

Observando os termos, vemos que 15, 16, etc., vão se cancelando. O que sobra são os primeiros termos que não têm com o que cancelar:
13 + 14
E os termos que vão até o infinito tendem a zero. Portanto, a soma da série é:
13 + 14 = 4 + 312 = 712

Resposta

A série é convergente e a soma é 712.

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