Considere a seguinte EDO:
e^(x^3) + sen(y) + x/3 cos(y) y' = 0
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por x^2, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz y(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e pede para verificar algumas propriedades e encontrar soluções. O conteúdo envolve EDOs exatas e métodos para resolver esse tipo de equação. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como identificar um fator integrante que transforma uma EDO não exata em exata.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a EDO que nos foi dada:
Vamos reescrever essa equação para deixá-la na forma padrão:
onde:

Passo 3

Para verificar se a EDO é exata, precisamos checar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a :
Como , a EDO não é exata.

Passo 4

Agora, o enunciado pede para multiplicar a EDO por e verificar se a nova EDO é exata. Vamos fazer isso:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, identificamos os novos e :

Passo 5

Vamos verificar se a nova EDO é exata, calculando as derivadas parciais:
Agora, , o que confirma que a EDO multiplicada por é exata.

Passo 6

Vamos para a parte b): encontrar a solução geral da EDO exata obtida.
Em uma EDO exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :

Passo 7

Integrando termo a termo:
  1. Para :
Vamos usar a substituição , então , ou seja, .
Então,
  1. Para :
Aqui, é tratado como constante em relação a :
Então, a função fica:
onde é uma função qualquer de .

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é constante. Podemos ignorar na solução geral.

Passo 9

Finalmente, vamos para a parte c): encontrar a solução particular que satisfaz .
Usamos a solução geral e substituímos e :
Simplificando:

Resposta

A solução que satisfaz é:

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