Considere a seguinte EDO:
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por
, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz
.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e pede para verificar algumas propriedades e encontrar soluções. O conteúdo envolve EDOs exatas e métodos para resolver esse tipo de equação. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como identificar um fator integrante que transforma uma EDO não exata em exata.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a EDO que nos foi dada:
Vamos reescrever essa equação para deixá-la na forma padrão:
onde:
Passo 3
Para verificar se a EDO é exata, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a EDO não é exata.
Passo 4
Agora, o enunciado pede para multiplicar a EDO por
e verificar se a nova EDO é exata. Vamos fazer isso:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, identificamos os novos
e
:
Passo 5
Vamos verificar se a nova EDO é exata, calculando as derivadas parciais:
Agora,
, o que confirma que a EDO multiplicada por
é exata.
Passo 6
Vamos para a parte b): encontrar a solução geral da EDO exata obtida.
Em uma EDO exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Passo 7
Integrando termo a termo:
- Para
:
Vamos usar a substituição
, então
, ou seja,
.
Então,
- Para
:
Aqui,
é tratado como constante em relação a
:
Então, a função
fica:
onde
é uma função qualquer de
.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos ignorar
na solução geral.
Passo 9
Finalmente, vamos para a parte c): encontrar a solução particular que satisfaz
.
Usamos a solução geral e substituímos
e
:
Simplificando:
Resposta
A solução que satisfaz
é:
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