Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
a(x dy/dx + 2y) = xy dy/dx

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que precisamos resolver usando o método de separação de variáveis. A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com derivadas de em relação a , e vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 2

Vamos começar isolando os termos que contêm . Para isso, primeiro distribuímos o na expressão:
Agora, trazemos todos os termos com para um lado da equação:

Passo 3

Fatoramos do lado esquerdo:
Agora, isolamos :

Passo 4

Vamos reescrever a equação para separar as variáveis e :
No entanto, essa forma ainda não está adequada para separação direta. Para simplificar, vamos rearranjar a equação:
Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, expandimos o lado esquerdo:
Isso nos dá:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Integrando, obtemos:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Podemos rearranjar a expressão para isolar se necessário, mas a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
dy/dx = e^(-2y) / (x^2 + 4)
Considere a seguinte EDO:
2y^2 + 2y/x + (2xy + 2 + y/x)y' = 0
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por x, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz y(1)=1.
Considere a seguinte EDO:
e^(x^3) + sen(y) + x/3 cos(y) y' = 0
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por x^2, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz y(0) = 0.
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
(x^2 + a^2)(y^2 + b^2) dx + (x^2 - a^2)(y^2 - b^2) dy = 0