Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que precisamos resolver usando o método de separação de variáveis. A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com derivadas de
em relação a
, e vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis
e
para facilitar a integração.
Passo 2
Vamos começar isolando os termos que contêm
. Para isso, primeiro distribuímos o
na expressão:
Agora, trazemos todos os termos com
para um lado da equação:
Passo 3
Fatoramos
do lado esquerdo:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
:
No entanto, essa forma ainda não está adequada para separação direta. Para simplificar, vamos rearranjar a equação:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, expandimos o lado esquerdo:
Isso nos dá:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Integrando, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Podemos rearranjar a expressão para isolar
se necessário, mas a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Considere a seguinte EDO:
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por
, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz .
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz
Considere a seguinte EDO:
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por
, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz .
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis: