Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
dy/dx = e^(-2y) / (x^2 + 4)

Passo 1

Este exercício pede para resolver uma equação diferencial separando as variáveis. A equação dada é . Vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Multiplicando ambos os lados por e por , obtemos:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:

Passo 4

Igualando as integrais, temos:
Podemos simplificar isso reunindo as constantes:
Multiplicando tudo por 2 para facilitar:
onde .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Considere a seguinte EDO:
2y^2 + 2y/x + (2xy + 2 + y/x)y' = 0
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por x, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz y(1)=1.
Encontre a solução dos PVIa) y' + 1/4 y = 3 + 2 cos(2 t), y(0) = 0.
b) y' - y = 1 + 3 sen(t), y(0) = -5/2
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
a(x dy/dx + 2y) = xy dy/dx
Considere a seguinte EDO:
e^(x^3) + sen(y) + x/3 cos(y) y' = 0
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por x^2, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz y(0) = 0.