Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Passo 1
Este exercício pede para resolver uma equação diferencial separando as variáveis. A equação dada é
. Vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Multiplicando ambos os lados por
e por
, obtemos:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Passo 4
Igualando as integrais, temos:
Podemos simplificar isso reunindo as constantes:
Multiplicando tudo por 2 para facilitar:
onde
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Considere a seguinte EDO:
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por
, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz .
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz
Encontre a solução dos PVIa)
.
b)
b)
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Considere a seguinte EDO:
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por
, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz .
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz