Considere a seguinte equação de uma cônica em coordenadas polares:
Escreva a equação da cônica em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica em coordenadas polares:
Nosso objetivo aqui é transformar essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas, como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar os dois lados da equação por
para eliminar o denominador:
Passo 3
Agora, distribuímos o
dentro dos parênteses:
Passo 4
Lembrando que
, substituímos na equação:
Passo 5
Precisamos expressar tudo em termos de
e
. Sabemos que
. Vamos substituir
na equação:
Passo 6
Vamos isolar o termo com a raiz quadrada:
Passo 7
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
Passo 8
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 9
Calculamos o quadrado do lado direito:
Passo 10
Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Passo 11
Reagrupamos os termos para levar tudo para um lado da equação:
Passo 12
Simplificamos os termos semelhantes:
Passo 13
Para deixar a equação mais organizada, podemos multiplicar todos os termos por -1:
Passo 14
Finalmente, podemos reescrever a equação em coordenadas cartesianas:
Resposta
A equação da cônica em coordenadas cartesianas é:
Exercícios relacionados
Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
(b) Medida do eixo conjugado 24; focos e
.
(b) Medida do eixo conjugado 24; focos
Plote os seguintes paraboloides:
Uma hipérbole tem centro
e segmento transverso de comprimento
. paralelo paralelo ao eixo
. Se sua excentricidade é
, então a equação dessa hipérbole é.
Plote os seguintes cones: